Μικροδιαφορά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10847
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μικροδιαφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 05, 2019 7:51 pm

Μικροδιαφορά.png
Μικροδιαφορά.png (9.12 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , με c<b , έχουμε "εγγράψει" τον ρόμβο APST .

α) Δείξτε ότι ο ρόμβος καταλαμβάνει λιγότερη από το μισή επιφάνεια του τριγώνου.

β) Αν : (APST)=48\% (ABC) , βρείτε το λόγο των πλευρών : \dfrac{c}{b}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11474
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μικροδιαφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 05, 2019 9:25 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 7:51 pm
Μικροδιαφορά.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , με c<b , έχουμε "εγγράψει" τον ρόμβο APST .

α) Δείξτε ότι ο ρόμβος καταλαμβάνει λιγότερη από το μισή επιφάνεια του τριγώνου.

β) Αν : (APST)=48\% (ABC) , βρείτε το λόγο των πλευρών : \dfrac{c}{b}
Αν BS=x, SC=y τότε x+y=a και από την ομοιότητα των πράσινων τριγώνων με το μεγάλο έχουμε x:y= PS:TC=ST:SC=c:b. Ειδικά x\ne y. Επίσης

\displaystyle{(PBS)+(TSC)= \frac {x^2}{a^2}(ABC)+\dfrac {y^2}{a^2}(ABC)= \dfrac {(x+y)^2+(x-y)^2}{2a^2}  (ABC) }

\displaystyle{> \dfrac {(x+y)^2}{2a^2}  (ABC) = \dfrac {1}{2}(ABC) }, από όπου το ζητούμενο.

Αν ακόμη (APST)=48\% (ABC) τότε \displaystyle{\frac {x^2+y^2}{a^2} = \frac {52}{100}. Μαζί με την x+y=a βρίσκουμε τα x,y (άμεσο) και άρα το \displaystyle{\frac {c}{b} =\frac {x}{y}}. Εδώ βγαίνει x=2a/5, y=3a/5, και λοιπά.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μικροδιαφορά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τετ Νοέμ 06, 2019 10:48 am

Καλημέρα,

Η μικροδιαφορά εποπτικά με κόκκινο. (Σημ. το χρώμα δεν είναι τυχαίο).
Συνημμένα
μικροδιαφορά.png
μικροδιαφορά.png (20 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10847
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μικροδιαφορά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 06, 2019 11:43 am

Μικροδιαφορά επέκταση.png
Μικροδιαφορά επέκταση.png (6.45 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Για την απάντηση στα αρχικά ερωτήματα αρκεί ο λόγος \dfrac{c}{b} , που είναι \dfrac{2}{3} όπως εννοεί ο Μιχάλης

με την έκφραση "και λοιπά" . Αν όμως θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για την διαφορά αυτή ,

( το κόκκινο εξόγκωμα του Antrian ) , θα χρειασθούμε και την πλευρά a .

Θέτω λοιπόν ένα πρόσθετο ερώτημα : Αν ο ρόμβος έχει εμβαδόν το 48\% του τριγώνου

και είναι γνωστή η μικρότερη πλευρά c , ποια είναι η μέγιστη τιμή της διαφοράς ;


Altrian
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μικροδιαφορά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Νοέμ 08, 2019 11:42 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 06, 2019 11:43 am
Μικροδιαφορά επέκταση.pngΓια την απάντηση στα αρχικά ερωτήματα αρκεί ο λόγος \dfrac{c}{b} , που είναι \dfrac{2}{3} όπως εννοεί ο Μιχάλης

με την έκφραση "και λοιπά" . Αν όμως θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για την διαφορά αυτή ,

( το κόκκινο εξόγκωμα του Antrian ) , θα χρειασθούμε και την πλευρά a .

Θέτω λοιπόν ένα πρόσθετο ερώτημα : Αν ο ρόμβος έχει εμβαδόν το 48\% του τριγώνου

και είναι γνωστή η μικρότερη πλευρά c , ποια είναι η μέγιστη τιμή της διαφοράς ;
Οπως έγραψε και ο κ. Λάμπρου (χρόνια πολλά με την ευκαιρία) έχουμε:

Εστω (PBS)=E_{1}...(TSC)=E_{2}...(APST)=E_{3}.

\dfrac{E_{1}+E_{2}}{(ABC)}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}\Rightarrow \dfrac{E_{3}}{(ABC)}=\dfrac{2xy}{(x+y)^{2}}\Rightarrow \dfrac{E_{1}+E_{2}-E_{3}}{(ABC)}=\dfrac{(x-y)^{2}}{(x+y)^{2}}

Δίνεται επίσης ότι:\dfrac{(x-y)^{2}}{(x+y)^{2}}=\dfrac{4}{100}\Rightarrow \dfrac{y-x}{y+x}=\dfrac{2}{10}\Rightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}.

Επειδή η AS είναι διχοτόμος της \angle A έχουμε ότι: \dfrac{x}{y}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow b=\dfrac{3c}{2}
δηλαδή σταθερή.
Αρα το (ABC) μεγιστοποιείται όταν \angle A=90\Rightarrow (ABC)_{max}=c*b/2=\dfrac{3c^{2}}{4}

Ετσι η μέγιστη μικροδιαφορά είναι το \dfrac{4}{100} αυτού δηλ. \dfrac{3c^{2}}{100}


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες