Σταθερό σημείο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 30, 2019 10:02 am

Σταθερό σημείο..png
Σταθερό σημείο..png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC (AB\ne AC). Στην ευθεία BA θεωρώ τα σημεία M, D και στην CA το σημείο N, ώστε

BM=CN, BD=CA. Αν οι BN, CM τέμνονται στο K, να δείξετε ότι οι KD, CA τέμνονται σε σταθερό

σημείο (ανεξάρτητο της επιλογής των M, N).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 845
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Οκτ 30, 2019 3:50 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 10:02 am
Σταθερό σημείο..png
Δίνεται τρίγωνο ABC (AB\ne AC). Στην ευθεία BA θεωρώ τα σημεία M, D και στην CA το σημείο N, ώστε

BM=CN, BD=CA. Αν οι BN, CM τέμνονται στο K, να δείξετε ότι οι KD, CA τέμνονται σε σταθερό

σημείο (ανεξάρτητο της επιλογής των M, N).
Καλησπέρα!
Έστω MC=NC=x .Από το θ.Μενελάου στο ABN διατέμνουσας \overline{MKC} έχουμε
\dfrac{KB}{KN}\cdot \dfrac{CN}{CA}\cdot \dfrac{MA}{MB}=1\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KN}=\dfrac{bx}{(c-x)x}=\dfrac{b}{c-x}.
Επίσης είναι \dfrac{DA}{DB}=\dfrac{c-b}{b}.Από το θ.Μενελάου στο ABN διατέμνουσας \overline{KDS} είναι

\dfrac{KB}{KN}\cdot \dfrac{SN}{SA}\cdot \dfrac{AD}{BD}=1\Rightarrow \dfrac{b}{c-x}\cdot \dfrac{SA+b-x}{SA}\cdot \dfrac{c-b}{b}=1\Leftrightarrow SA\left ( b-x \right )=bc-b^2-xc+bx=...=(b-x)(c-b)\Leftrightarrow SA=c-b
Δηλαδή S σταθερό.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 30, 2019 7:07 pm

Η απάντηση είναι έξοχη , θαρρώ πάντως ότι το θέμα είναι εξαιρετικό :clap2: .

Είναι αυτό που λένε θα ζήλευε κάθε θεματοδότης !


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σταθερό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 30, 2019 11:33 pm

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Πριν υποβάλω (σε επόμενη ανάρτηση κι' εφόσον δεν καλυφθεί) μια ακόμη
προσέγγιση-λύση του παρόντος θαυμάσιου θέματος
αν μου επιτρέπει ο συνονόματος εισηγητής να δώσω την ακόλουθη προέκταση
Σταθερό σημείο G.V.PNG
Σταθερό σημείο G.V.PNG (7.51 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές
Στο σχήμα ισχύουν τα αρχικά δεδομένα. Ας είναι AB>AC και E η τομή των DK,BC.

Θεωρούμε τους λόγους \dfrac{BE}{BC}=\lambda και \dfrac{\left ( DAS \right )}{\left ( BAC \right )}=m.

Να εξεταστεί αν οι \lambda και m είναι σταθεροί και επιπλέον αν οι αριθμοί \lambda -\lambda ^{2} και m+4 είναι αντίστροφοι.

Ευχαριστώ τον Γιώργο για την άδεια...Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1938
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σταθερό σημείο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Οκτ 31, 2019 12:07 am

Η πρόταση κάτι μου θυμίζει από Πάππο. Ίσως. Δεν μπορώ να το προσδιορίσω.

Πάντως σίγουρα η ευθεία DK είναι σταθερή και παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας A.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό σημείο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 31, 2019 12:39 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:33 pm
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Πριν υποβάλω (σε επόμενη ανάρτηση κι' εφόσον δεν καλυφθεί) μια ακόμη
προσέγγιση-λύση του παρόντος θαυμάσιου θέματος
αν μου επιτρέπει ο συνονόματος εισηγητής να δώσω την ακόλουθη προέκταση
Σταθερό σημείο G.V.PNG
Στο σχήμα ισχύουν τα αρχικά δεδομένα. Ας είναι AB>AC και E η τομή των DK,BC.

Θεωρούμε τους λόγους \dfrac{BE}{BC}=\lambda και \dfrac{\left ( DAS \right )}{\left ( BAC \right )}=m.

Να εξεταστεί αν οι \lambda και m είναι σταθεροί και επιπλέον αν οι αριθμοί \lambda -\lambda ^{2} και m+4 είναι αντίστροφοι.

Ευχαριστώ τον Γιώργο για την άδεια...Φιλικά Γιώργος.
Καλό μεσημέρι σε όλους!
Σταθερό σημείο.β.png
Σταθερό σημείο.β.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές
Αν AF είναι η διχοτόμος του ABC τότε από την αρχική άσκηση είναι AD=AS, οπότε SE||AF.

\displaystyle \frac{{BE}}{{BF}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{b}{c} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{\frac{{ac}}{{b + c}}}} = \frac{b}{c} \Leftrightarrow BE = \frac{{ab}}{{b + c}} \Rightarrow \lambda  = \frac{{b}}{{{{b + c}}}} και \boxed{\lambda  - {\lambda ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}}

Τα τρίγωνα DAS, BAC έχουν μία γωνία παραπληρωματική:

\displaystyle \frac{{(DAS)}}{{(BAC)}} = \frac{{D{A^2}}}{{bc}} \Leftrightarrow m = \frac{{{{(b - c)}^2}}}{{bc}} \Leftrightarrow m + 4 = \frac{{{{(b + c)}^2}}}{{bc}} \Rightarrow \boxed{m + 4 = \frac{1}{{\lambda  - {\lambda ^2}}}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερό σημείο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 31, 2019 11:00 pm

Ας είναι Fη τομή των ευθειών DK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC .

Θέτω BM = NC = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD = AN = m και άρα BD = k + m = AC = b.

Θ Μενελάου στα τρίγωνα: AMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MBC με τέμνουσες: \overline {BKN} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {DKF}

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AB}}{{BM}} \cdot \frac{{MK}}{{KC}} \cdot \frac{{CN}}{{NA}} = 1 \hfill \\ 
  \frac{{MD}}{{DB}} \cdot \frac{{BF}}{{FC}} \cdot \frac{{CK}}{{KM}} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{c}{k} \cdot \frac{{MK}}{{KC}} \cdot \frac{k}{m} = 1\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \\ 
  \frac{m}{b} \cdot \frac{{BF}}{{FC}} \cdot \frac{{CK}}{{KM}} = 1\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Σταθερό σημείο_b.png
Σταθερό σημείο_b.png (26.27 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές
Πολλαπλασιάζω τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) κατά μέλη κι έχω : \boxed{\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{b}{c}}\,\,\,(3)

Δηλαδή το F σταθερό σημείο , άρα οι ευθείες : AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DF ως σταθερές

Τέμνονται σε σταθερό σημείο S,

Παρατηρήσεις :

α) Αν φέρω τη διχοτόμο AE του \vartriangle ABC , επειδή \dfrac{{EC}}{{EB}} = \dfrac{b}{c} και θέσω :

BF = x\,\,,\,\,FE = u\,\,,\,\,EC = y θα έχω : \dfrac{x}{{y + u}} = \dfrac{y}{{x + u}} \Leftrightarrow (x - y)(x + y + u) = 0 \Rightarrow \boxed{x = y}

β) \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{b}{c}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{BF}}{{BE}} = \dfrac{x}{{x + u}} = \dfrac{y}{{x + u}} = \dfrac{b}{c} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{BF}}{{BE}} \Rightarrow \boxed{AE//DF}

γ) Η ευθεία που ενώνει τα μέσα των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN είναι παράλληλη στη διχοτόμο

AE ( άρα και στη DF) και διέρχεται απ το μέσο του DA.

δ) Προφανώς το τρίγωνο ASD είναι ισοσκελές

Έχει κι άλλα «καλούδια» όπως δείχνει η παρέμβαση του Γιώργου του Μήτσιου


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 845
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σταθερό σημείο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Οκτ 31, 2019 11:19 pm

rek2 έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 12:07 am
Η πρόταση κάτι μου θυμίζει από Πάππο. Ίσως. Δεν μπορώ να το προσδιορίσω.

Πάντως σίγουρα η ευθεία DK είναι σταθερή και παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας A.
Επίσης να αναφέρουμε ότι το παραπάνω μαζί με γεγονός ότι τα μέσα των BC,MN,AD είναι συνευθειακά προκύπτουν από το AD=AS σε συνδυασμό με το παρακάτω γνωστό λήμμα:

Αν σε τετράπλευρο ABCD είναι AD=BC τότε η ευθεία που ενώνει τα μέσα των AB,CD είναι παράλληλη στην διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι  DA,CB προεκτεινόμενες .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σταθερό σημείο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Νοέμ 01, 2019 12:27 am

Χαιρετώ την κραταιά ομάδα! .Θεωρώ το παραλληλόγραμμο ABHC και την διχοτόμο AZ.
Σταθερό σημείο.. 2 PNG.PNG
Σταθερό σημείο.. 2 PNG.PNG (11.22 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές
Σύμφωνα με την τελευταία πρόταση στο δημοφιλές θέμα : Η εκ του Nagel ..

η HK είναι διχοτόμος της \widehat{BHC} άρα σταθερή και HK\parallel AZ.

Αν τέμνει την AB στο D και την CA στο S, αρκεί να δείξουμε ότι BD=AC.

Πράγματι έχουμε τις γωνίες \varphi =\omega συνεπώς AS=AD και BD=BH=AC

δηλ η HS ταυτίζεται με την KD που δόθηκε αρχικά.Άρα και το S είναι σταθερό σημείο.Φιλικά , Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης