Συνθήκη με βαρύκεντρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Συνθήκη με βαρύκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 29, 2019 6:37 pm

Συνθήκη με βαρύκεντρο.png
Συνθήκη με βαρύκεντρο.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές
AD είναι το ύψος και BE η διχοτόμος τριγώνου ABC. Αν το βαρύκεντρο G του τριγώνου

ABC είναι σημείο του τμήματος DE, να υπολογίσετε το b συναρτήσει των a, c.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Οκτ 29, 2019 7:41 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Οκτ 29, 2019 6:37 pm
Συνθήκη με βαρύκεντρο.png
AD είναι το ύψος και BE η διχοτόμος τριγώνου ABC. Αν το βαρύκεντρο G του τριγώνου

ABC είναι σημείο του τμήματος DE, να υπολογίσετε το b συναρτήσει των a, c.
Θ.διχοτόμου : \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{c}{a},λόγω βαρύκεντρου είναι \dfrac{GM}{GA}=\dfrac{1}{2} και
\dfrac{DM}{DC}=\dfrac{b\cos \angle C}{b\cos\angle C-\dfrac{a}{2}}\overset{\cos\angle C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} }{=}=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{b^2-c^2}

Από θ.Μενελάου στο AMC διατέμνουσας \overline{DGE} έχω :

\dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{DC}{DM}\cdot \dfrac{GM}{GA}=1\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}\cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{b^2-c^2}\cdot \dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow b=\sqrt{\dfrac{a^2c+2ac^2-c^3}{2a-c}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 30, 2019 7:11 pm

Πολύ ωραία Πρόδρομε :coolspeak:

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αν το D είναι εσωτερικό σημείο του BC να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λόγος \dfrac{c}{a}.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Νοέμ 01, 2019 9:31 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 7:11 pm

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αν το D είναι εσωτερικό σημείο του BC να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λόγος \dfrac{c}{a}.
Από την τριγωνική ανισότητα είναι:

b>a-c\Leftrightarrow b^2>a^2+c^2-2ac\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow a^2-3ac+c^2<0
το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες τις x_1=c\left ( \phi -1 \right ),x_2=c\left ( \phi +1 \right ),\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}.Άρα πρέπει a\in \left ( x_1,x_2 \right )\Leftrightarrow \dfrac{1}{\phi -1}>\dfrac{c}{a}>\dfrac{1}{\phi +1}\overset{\dfrac{1}{\phi -1}=\phi }{\Leftrightarrow} \dfrac{1}{\phi +1}<\dfrac{c}{a}<\phi

Όμως D\in BC\Rightarrow \angle B<90^{\circ}\Rightarrow b^2<a^2+c^2\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow c<a
Άρα τελικά \dfrac{c}{a}\in \left ( \dfrac{1}{\phi +1} ,1\right )\,\,\acute{\eta }\,\,\,\dfrac{c}{a}\in \left ( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2},1 \right )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης