Καθετότητες και ισότητες

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

: 153.PNG (39.25 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Στο εξωτερικό τριγώνου ABC

και με πλευρές τις AB,AC

θεωρούμε τετράγωνα ABDE,ACTF

.
Με πλευρά την

θεωρούμε τετράγωνο FDHG

(στο ημιεπίπεδο που ορίζει η

και δεν ανήκει το

).

α) Να δείξετε ότι τα EG,ET

είναι ίσα και κάθετα.
β) Αν N,M

μέσα των

και $P\equiv GM\cap AN$ να δείξετε ότι τα PD,PT

είναι ίσα και κάθετα.

min## · #2

α)Θεωρούμε τις στροφές $\partial_{1}=F_{90^{+}},\partial _{2}=E_{90^{+}}$ .
Η σύνθεσή τους, $\Theta =\partial_{1}\circ \partial_{2}$ είναι στροφή κατά γωνία 180

και προφανώς στέλνει το

στο

.
Άρα (επειδή είναι στροφή 180 μοιρών) θα στέλνει και το

στο

.
Όμως $\partial_{1}(D)=G$ και συνεπως αναγκαστικά
$\partial_{2}(G)=T$ .
β)Με ομοιοθεσία κέντρου

και λόγου

αρκεί
$O_{1}N,O_{2}N$ κάθετες με $O_{1},O_{2}$ τα κέντρα των ABDE,ACTF

.
Όμως το $O_{1}O_{2}N$ προκύπτει αν πάρουμε τα μέσα των τμημάτων που ενώνουν τις αντίστοιχες κορφές των ομοίων τριγώνων DBA,ACT

δηλαδή είναι και αυτό όμοιο με αυτά...(γνωστή πρόταση)

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

min## έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 27, 2019 12:56 pm
α)Θεωρούμε τις στροφές $\partial_{1}=F_{90^{+}},\partial _{2}=E_{90^{+}}$ .
Η σύνθεσή τους, $\Theta =\partial_{1}\circ \partial_{2}$ είναι στροφή κατά γωνία και προφανώς στέλνει το στο .
Άρα (επειδή είναι στροφή 180 μοιρών) θα στέλνει και το στο .
Όμως $\partial_{1}(D)=G$ και συνεπως αναγκαστικά
$\partial_{2}(G)=T$ .
β)Με ομοιοθεσία κέντρου και λόγου αρκεί
$O_{1}N,O_{2}N$ κάθετες με $O_{1},O_{2}$ τα κέντρα των .
Όμως το $O_{1}O_{2}N$ προκύπτει αν πάρουμε τα μέσα των τμημάτων που ενώνουν τις αντίστοιχες κορφές των ομοίων τριγώνων δηλαδή είναι και αυτό όμοιο με αυτά...(γνωστή πρόταση)

Καλησπέρα,
Για το α) συμφωνώ.
Για το β) δεν γνωρίζουμε ότι η ομοιοθεσία στέλνει το

στο

(εκτός αν δεν βλέπω κάτι προφανές

)

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Μια άλλη λύση για το (α):

Θα χρησιμοποιήσουμε στροφή διανύσματος

γωνίας

:

Αρκεί να δείξουμε ότι $P(\vec{ET})=\vec{EG}$

$\displaystyle{P(\vec{ET})=P(\vec{ED}+\vec{DF}+\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})+P(\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})-P(\vec{TF})$ $=\vec{EA}+\vec{DH}-\vec{TC}=\vec{EA}+\vec{FG}+\vec{AF}=\vec{EG}}$

Υ.Γ Και το (β) μπορεί να λυθεί με στροφή διανύσματος, μπορεί να βάλω αργότερα την λύση.

min## · #5

Για κάποιο λόγο το θεώρησα δεδομένο..go figure

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

μπορείς εύκολα να δεις την ισότητα των AEP',EDF

(είναι

κάθετες και ίσες και AE,DE

κάθετες και ίσες.
Έτσι EP',DF

κάθετες και ίσες δηλαδή EP',FG

παραλληλες και ίσες κτλ.

Καθετότητες και ισότητες

Καθετότητες και ισότητες

Re: Καθετότητες και ισότητες

Re: Καθετότητες και ισότητες

Re: Καθετότητες και ισότητες

Re: Καθετότητες και ισότητες

Μέλη σε σύνδεση