Σελίδα 1 από 1

Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 26, 2019 7:14 pm
από george visvikis
Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο.png
Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Έστω H το ορθόκεντρο και I το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC. Η AI τέμνει τον περιγεγραμμένο

κύκλο στο E. Αν IE=R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου), να δείξετε ότι AH\ge AI.

Re: Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 26, 2019 8:00 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
george visvikis έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2019 7:14 pm
Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο.png
Έστω H το ορθόκεντρο και I το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC. Η AI τέμνει τον περιγεγραμμένο

κύκλο στο E. Αν IE=R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου), να δείξετε ότι AH\ge AI.
EI=R\Leftrightarrow EB=EC=R\Leftrightarrow \angle A=60^{\circ}
Αν O το περίκεντρο του ABC,M μέσο του BC και F to σημείο επαφή του έγκυκλου με την AB τότε:AH=2OM=OE=R και \angle FAI=30^{\circ}\Leftrightarrow AI=2r
Αρκεί δηλαδή R\geq 2r που ισχύει.
152.PNG
152.PNG (35.4 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές

Re: Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 27, 2019 3:53 pm
από Κω.Κωνσταντινίδης
Λίγο αλλιώτικα το τελείωμα: (Χρησιμοποιώ το σχήμα του Προδρόμου)
Με κυνήγι γωνιών(αρκετά παρεμφερές με το προηγούμενο ποστ) βρίσκουμε ότι HE=EI=EC=EB=EO=R.Στο τρίγωνο AHE η τριγωνική ανισότητα δίνει AH+HE> AE=AI+IE
δηλαδή AH> AI. H περίπτωση που AH=AI ισχύει όταν το τρίγωνο AHE είναι εκφυλισμένο (δηλαδή αν τα A,H,E είναι συνευθειακά και άρα τα H,I συμπίπτουν), το οποίο γίνεται όταν το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο.