Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 26, 2019 7:14 pm

Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο.png
Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Έστω H το ορθόκεντρο και I το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC. Η AI τέμνει τον περιγεγραμμένο

κύκλο στο E. Αν IE=R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου), να δείξετε ότι AH\ge AI.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Οκτ 26, 2019 8:00 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2019 7:14 pm
Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο.png
Έστω H το ορθόκεντρο και I το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC. Η AI τέμνει τον περιγεγραμμένο

κύκλο στο E. Αν IE=R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου), να δείξετε ότι AH\ge AI.
EI=R\Leftrightarrow EB=EC=R\Leftrightarrow \angle A=60^{\circ}
Αν O το περίκεντρο του ABC,M μέσο του BC και F to σημείο επαφή του έγκυκλου με την AB τότε:AH=2OM=OE=R και \angle FAI=30^{\circ}\Leftrightarrow AI=2r
Αρκεί δηλαδή R\geq 2r που ισχύει.
152.PNG
152.PNG (35.4 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Κυρ Οκτ 27, 2019 3:53 pm

Λίγο αλλιώτικα το τελείωμα: (Χρησιμοποιώ το σχήμα του Προδρόμου)
Με κυνήγι γωνιών(αρκετά παρεμφερές με το προηγούμενο ποστ) βρίσκουμε ότι HE=EI=EC=EB=EO=R.Στο τρίγωνο AHE η τριγωνική ανισότητα δίνει AH+HE> AE=AI+IE
δηλαδή AH> AI. H περίπτωση που AH=AI ισχύει όταν το τρίγωνο AHE είναι εκφυλισμένο (δηλαδή αν τα A,H,E είναι συνευθειακά και άρα τα H,I συμπίπτουν), το οποίο γίνεται όταν το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης