Ομοιότητα

KARKAR · #1

: Ομοιότητα.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές

Στα άκρα

των πλευρών AB,AC

τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω κάθετες και θεωρώ τυχαίο σημείο

του ύψους

.

Οι ευθείες BS , CS

τέμνουν τις κάθετες , στα T,P

αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα τρίγωνα ABP,ACT

είναι όμοια .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 12, 2019 10:18 am
Στα άκρα των πλευρών τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω κάθετες και θεωρώ τυχαίο σημείο του ύψους .

Οι ευθείες τέμνουν τις κάθετες , στα αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια .

Με Αναλυτική είναι απλή, που δεν πρέπει να σκεφτούμε τίποτα ουσιαστικό. Ας την δούμε χωρίς τις πράξεις ρουτίνας.

Θέλουμε, ισοδύναμα, να δείξουμε ότι CT:AC=PB:AB

. Απλά υπολογίζουμε καθένα από τα διαστήματα αυτά:

Με αρχή των αξόνων το

λαμβάνουμε A(0,a), B(b,0), C(c,0), S(0,s)

. Εύκολα βλέπουμε οτι οι ευθείες BS, CT

είναι αντίστοιχα οι

$y= \dfrac {s}{b} (x-b), \, y= -\dfrac {c}{a}(x-c)$ από όπου η τομή τους

είναι η λύση $\displaystyle{ x = \dfrac {b(sa+c^2)}{cb+sa}, \,y = -\dfrac {cs(b-c)}{cb+sa}}$ .

Ανάλογα για το

.

Τώρα τα $CT, \, AC, \, PB, \, AB$ είναι άμεσα υπολογίσιμα αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των άκρων τους. Και λοιπά.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 12, 2019 10:18 am
Ομοιότητα.pngΣτα άκρα των πλευρών τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω κάθετες και θεωρώ τυχαίο σημείο του ύψους .

Οι ευθείες τέμνουν τις κάθετες , στα αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια .

Υπάρχει παρόμοια στο ''Μαθηματικοί διαγωνισμοί 1''(η λύση που παρουσιάζω βασίζεται σε αυτή που υπάρχει εκεί).

Ισοδύναμα αρκεί να δείξω ότι αν APB,ACT

όμοια τότε AD,CP,BT

συντρέχουν .
$A\overset{\Delta }{BP}\sim\overset{\Delta }{ ACT}\Leftrightarrow \dfrac{PB}{AB}=\dfrac{CT}{AC}\,\,(1)$
Έστω F,N

οι ορθές προβολές των P,T

στην

αντίστοιχα.
Είναι $\angle PBF=90-\angle B=\angle BAD\Leftrightarrow \overset{\Delta }{PFB}\sim \overset{\Delta }{BAD}\Leftrightarrow \dfrac{FB}{PB}=\dfrac{AD}{AB}\Leftrightarrow FB=AD \cdot \dfrac{PB}{AB} \overset{(1)}{=}\,\,..AD\cdot \dfrac{CT}{AC}=CN\Leftrightarrow FB=CN\,\,\,(2)$
Έστω $M\equiv PC\cap AD,K\equiv BT\cap AD$ ,είναι $\dfrac{PF}{FB}=\dfrac{BD}{AD}\Leftrightarrow PF=\dfrac{BD\cdot FB}{AD}$
Είναι $MD=PF\cdot \dfrac{CD}{CF}=\dfrac{BD\cdot CD}{AD}\cdot \dfrac{FB}{FC} \overset{(2)}{=}\dfrac{BD\cdot CD}{AD}\cdot \dfrac{CN}{BN}=KD\Rightarrow M\equiv K$ .

: 146.PNG (28.93 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Ομοιότητα

Ομοιότητα

Re: Ομοιότητα

Re: Ομοιότητα

Μέλη σε σύνδεση