Πλευρές Παραλληλογράμμου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Πλευρές Παραλληλογράμμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 08, 2019 12:12 pm

Πλευρές παραλληλογράμμου.png
Πλευρές παραλληλογράμμου.png (15.1 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
Στο παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος η CS διχοτομεί τη γωνία \widehat {BCD}.

Να υπολογίσετε τις πλευρές του παραλληλογράμμου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλευρές Παραλληλογράμμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 08, 2019 5:41 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 08, 2019 12:12 pm
Πλευρές παραλληλογράμμου.png

Στο παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος η CS διχοτομεί τη γωνία \widehat {BCD}.

Να υπολογίσετε τις πλευρές του παραλληλογράμμου.
Πλευρές παραλληλογράμμου.png
Πλευρές παραλληλογράμμου.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Η ωραία λύση a=15, b=20 και η άλλη \displaystyle a = \frac{{32 + 4\sqrt {19} }}{3},b = \frac{{10}}{3}\sqrt {23 + 4\sqrt {19} }

edit: Άρση απόκρυψης, Σαβ. Οκτ 12, 2019 8:36 am


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Πλευρές Παραλληλογράμμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Οκτ 12, 2019 12:41 am

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 08, 2019 12:12 pm
Πλευρές παραλληλογράμμου.png

Στο παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος η CS διχοτομεί τη γωνία \widehat {BCD}.

Να υπολογίσετε τις πλευρές του παραλληλογράμμου.
Το τετράπλευρο DCIN είναι ρόμβος και από τα ίσα τρίγωνα TSC,SNJ,NJ=3,,


AS=20,AT=\upsilon ,ST=SJ=\upsilon -10, NJA,(b-a)^{2}=9+(20-\upsilon )^{2},(1),

      \dfrac{3}{a-3}=\dfrac{20-\upsilon }{\upsilon }=\dfrac{b-a}{b},(2), (1),(2)\Rightarrow (a-15)(3a^{2}-64a+240)=0


    
         

           a=15,a=\dfrac{32+4\sqrt{19}}{3}, a=\dfrac{32-4\sqrt{19}}{3}





a=15,b=20,



a=\dfrac{32+4\sqrt{19}}{3},b=\dfrac{(32+4\sqrt{19})(23+4\sqrt{19}))}{3(14+4\sqrt{19})},




a=\dfrac{32-4\sqrt{19}}{3},b=\dfrac{(32-4\sqrt{19})(23-4\sqrt{19})}{3(14-4\sqrt{19})}


























Γιάννης
Συνημμένα
Πλευρές Παραλληλογράμμου.png
Πλευρές Παραλληλογράμμου.png (78.98 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Σάβ Οκτ 12, 2019 5:21 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλευρές Παραλληλογράμμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 12, 2019 2:12 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 08, 2019 12:12 pm
Πλευρές παραλληλογράμμου.png

Στο παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος η CS διχοτομεί τη γωνία \widehat {BCD}.

Να υπολογίσετε τις πλευρές του παραλληλογράμμου.
Πλευρές παραλληλογράμμου.png
Πλευρές παραλληλογράμμου.png (14.9 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Το γεωμετρικό κομμάτι είναι απλό:
\displaystyle TS = \sqrt {3(a - 3)} , από θ. διχοτόμου, \displaystyle \frac{{TS}}{{10}} = \frac{{a - 3}}{b} \Rightarrow {b^2} = \frac{{100(a - 3)}}{3} και με Π.Θ στο ATD:

\displaystyle {b^2} = {(a - 3)^2} + {\left( {10 + \sqrt {3(a - 3)} } \right)^2} \Rightarrow \boxed{\frac{{100(a - 3)}}{3} = {(a - 3)^2} + {\left( {10 + \sqrt {3(a - 3)} } \right)^2}} (1)

Η εξίσωση δίνει \boxed{a=15, b=20} ή \boxed{ a = \frac{{32 + 4\sqrt {19} }}{3},b = \frac{{10}}{3}\sqrt {23 + 4\sqrt {19} }}


Η όποια δυσκολία της άσκησης έγκειται στη λύση της εξίσωσης (1) Την αφήνω ένα 24ωρο στους μαθητές και θα επανέλθω αν δεν λυθεί.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλευρές Παραλληλογράμμου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 13, 2019 7:41 pm

Λύση της εξίσωσης \boxed{\frac{{100(a - 3)}}{3} = {(a - 3)^2} + {\left( {10 + \sqrt {3(a - 3)} } \right)^2}} (1)

Θέτω \displaystyle \sqrt {3(a - 3)}  = x > 0 και η εξίσωση γράφεται: \displaystyle \frac{{100{x^2}}}{9} = \frac{{{x^4}}}{9} + {(10 + x)^2} \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{{x^2}}}{9}(10 - x)(10 + x) = {(10 + x)^2} \Leftrightarrow {x^3} - 10{x^2} + 9x + 90\mathop  = \limits^{Horner} (x - 6)({x^2} - 4x - 15) = 0

κι επειδή x>0 είναι \displaystyle x = 6 ή \displaystyle x = 2 + \sqrt {19} , απ' όπου \boxed{a = 15} ή \boxed{a = \frac{{32 + 4\sqrt {19} }}{3}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πλευρές Παραλληλογράμμου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 15, 2019 10:57 am

Επειδή \widehat {CSD} = 90^\circ \,\, και η CS διχοτόμος της , αναγκαστικά η SD θα διχοτομεί τη γωνία \widehat {ADC}.

Αν λοιπόν φέρω κάθετη στο D επί την SDκαι κόψει την ST στο E η τετράδα :

\left( {A,T\backslash S,E} \right) είναι αρμονική. Θέτω : TD = x\,\,,\,\,TS = y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE = z

Είναι έτσι προφανείς οι ισότητες :\left\{ \begin{gathered} 
  {y^2} = 3x \hfill \\ 
  {x^2} = yz \hfill \\ 
  \frac{{ST}}{{SA}} = \frac{{ET}}{{EA}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {y^2} = 3x \hfill \\ 
  {x^2} = yz \hfill \\ 
  {y^2} + yz = 10(z - y) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Πλευρές παραλληλογράμμου_Λύση.png
Πλευρές παραλληλογράμμου_Λύση.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές
Η τελευταία από τις δύο πρώτες δίδει : \boxed{{x^2} + 3x = 10\left( {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3x} }} - \sqrt {3x} } \right)}\,\,\,(1)

Αν θέσω , \sqrt {3x}  = t > 0 έχω : 3x = {t^2},9{x^2} = {t^4} και η (1) δίδει :

{t^3} - 10t + 9t + 90 = 0 \Leftrightarrow (t - 6)({t^2} - 4t - 15) = 0 και άρα : t = 6\,\,\,ή t = 2 + \sqrt {19}

Δηλαδή έχω :\sqrt {3x}  = 6 ή \sqrt {3x}  = 2 + \sqrt {19} δηλαδή : \left\{ \begin{gathered} 
  x = 12 \hfill \\ 
  x = \frac{{{{\left( {2 + \sqrt {19} } \right)}^2}}}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Η μια πλευρά του παραλληλογράμμου είναι : DC = x + 3 και η άλλη είναι η υποτείνουσα,

AD στο \vartriangle TDA με κάθετες πλευρές : TD = x\,\,,TA = \,\,\sqrt {3x}  + 10.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες