Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10758
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm

Τέσσερα  μέσα κι  ένας λόγος.png
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (6.08 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Στο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Οκτ 07, 2019 7:29 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .
Καλησπέρα!

Έστω E το μέσον του DO.Είναι EN//AD//MO\Rightarrow EN//MO,EN=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}=MO
Από τα παραπάνω το EMON είναι παραλληλόγραμμο με μέσο L άρα LN=LM,EL=LO=DO/4

\dfrac{LD}{LB}=\dfrac{\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{3}{5}
144.PNG
144.PNG (9.42 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 07, 2019 10:02 pm

τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png
τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
Ας είναι BD = AC = 8k\,\,\, και T το μέσο του OC. Θα είναι:

NO = OT = TM = 2k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OL = k. Αφού LO//MT\,\, και το O μέσο του NT θα είναι :

α) Και το L μέσο του NM

β) \boxed{\frac{{DL}}{{LB}} = \frac{{3k}}{{5k}} = \frac{3}{5}}

Παρατήρηση:

Δείτε ακόμη ότι η MN είναι κάθετη στην NB.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Δευ Οκτ 07, 2019 10:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1062
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 07, 2019 10:08 pm

Καλό βράδυ!
Τέσσερα μέσα και λόγος.PNG
Τέσσερα μέσα και λόγος.PNG (6.94 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Αν I μέσον του OB τότε NI=\parallel AB/2=\parallel DM οπότε το DMIN παραλληλόγραμμο , άρα ML= LN.

Ακόμη IB=BD/4..DL=LI=DI/2=3BD/8 και LB=LI+IB=5BD/8 . Προκύπτει \dfrac{DL}{LB}=\dfrac{3}{5}.
Φιλικά Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1650
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Οκτ 07, 2019 11:08 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .
Η παράλληλη από το  A στην  MN τέμνει την  OM στο  K και  OK=2OM=//AD \Rightarrow DKOA παραλ/μμο άρα AP=PK

Ισχύει \dfrac{NL}{LM} = \dfrac{AP}{PK}=1 \Rightarrow NL=LM και με LO=x \Rightarrow  \dfrac{DL}{LB}= \dfrac{3}{5}
τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png
τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Οκτ 09, 2019 8:26 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .
Ειναι NO=AN,\hat{NOM}=\hat{NAT},\hat{MNO}=\hat{ANT} Συνεπώς τα τρίγωνα NOM,ATN

είναι ίσα ,άρα AT=\dfrac{a}{2},. Στο τρίγωνο ADO με τέμνουσα TNL

Από το θεώρημα του Μενελάου είναι \dfrac{OL}{DL}=\dfrac{AT}{AT+a}\Rightarrow \dfrac{OL}{DL}=\dfrac{1}{3},(1), OL+DL=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}, (1),(2)\Rightarrow OL=\dfrac{a\sqrt{2}}{8},DL=\dfrac{3a\sqrt{2}}{8},LB=\dfrac{5a\sqrt{2}}{8}, NL^{2}=OL^{2}+ON^{2}\Rightarrow NL=\dfrac{a\sqrt{5}}{4\sqrt{2}},(3)

Από το νόμο συνημητόνων στο τρίγωνο OMN,LM=\dfrac{a\sqrt{5}}{4\sqrt{2}},NL=LM,\dfrac{DL}{LB}=\dfrac{3}{5}
Συνημμένα
Τεσσερα μέσα κι ένας λόγος.png
Τεσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (34.66 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες