Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10020
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα τμήματα απ' την Περσία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 03, 2019 10:54 am

Ίσα τμήματα από παραλληλίες.png
Ίσα τμήματα από παραλληλίες.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
Τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O και έστω M το μέσο του τόξου \overset\frown{BC} στο οποίο δεν ανήκει

το A. Το ύψος από τη κορυφή A τέμνει τον κύκλο στο N και οι παράλληλες από το O στις MB, MC τέμνουν τις

AB, AC στα K, L αντίστοιχα. Να δείξετε ότι NK=NL.



Λέξεις Κλειδιά:
giannisd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Πέμ Οκτ 03, 2019 11:14 pm

Μια γρήγορη:

Έστω T το αντιδιαμετρικό του M στον (ABC).
Τότε λόγω των παραλληλιών είναι:
\displaystyle{\angle ATO= \angle ATM=\angle ACM=\angle ALO}
και
\displaystyle{\angle AKO=\angle ABM=\pi-\angle ACM}
Άρα, ATLOK εγγράψιμο.
Τότε (από spiral similarity ας πούμε) KTL ισοσκελές με TK=TL.
Έστω S=AM\cap (ATLOK)
Τότε SK=SL και SO\perp MT\implies SO\perp AN
Όμως το ANMT είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα T,S,N συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται, αφού TS μεσοκάθετος του KL,


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Νοέμ 04, 2019 10:44 pm

Λόγω παραλληλίας και αφού το ABMC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι

\displaystyle  
\angle AKO+\angle ALO=\angle ABM+\angle ACM=180^\circ,

δηλ. το τετράπλευρο AKOL είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Έστω ότι η MO τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC στο F. Είναι

\displaystyle  
\angle FAC=\angle FMC=\angle FOL,

δηλ. τo AFLO είναι εγγράψιμο. Έτσι, τα A,K,O,L,F είναι ομοκυκλικά. Επιπλέον, με κυνήγι γωνιών παίρνουμε

\displaystyle  
\angle FKL=\angle FAC=\angle FMC=\angle FMB=\angle FOK=\angle FLK,

δηλ. το τρίγωνο FKL είναι ισοσκελές με FK=FL.

Λόγω παραλληλίας, και αφού το BOM είναι ισοσκελές με OB=OM, είναι

\displaystyle  
\angle KOB=\angle OBM=\angle OMB=\angle FOK.

Έτσι τα τρίγωνα KOB και KOF είναι ίσα από ΠΓΠ, κι άρα BK=KF. Έτσι, \angle KBF=\angle KFB.

Από την παραλληλία των AN και FM παίρνουμε

\displaystyle  
\angle NFM=\angle ANF=\angle ABF=\angle KBF=\angle KFB.

Έτσι,

\displaystyle  
\angle KFN=\angle BFM=90^\circ -\angle FBC=90^\circ-\angle FKL.

Άρα η FN είναι κάθετη στο KL, κι αφού το KFL είναι ισοσκελές με KF=FL, η FN είναι η μεσοκάθετος του KL. Συνεπώς, KN=NL.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
george_Persia_2019_forum.png
george_Persia_2019_forum.png (62.86 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες