Ίσα τμήματα απ' την Περσία

#1

: Ίσα τμήματα από παραλληλίες.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Τρίγωνο

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου

και έστω

το μέσο του τόξου $\overset\frown{BC}$ στο οποίο δεν ανήκει

το

Το ύψος από τη κορυφή

τέμνει τον κύκλο στο

και οι παράλληλες από το

στις

τέμνουν τις

AB, AC

στα

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι NK=NL.

giannisd · #2

Μια γρήγορη:

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

στον

.
Τότε λόγω των παραλληλιών είναι:
$\displaystyle{\angle ATO= \angle ATM=\angle ACM=\angle ALO}$
και
$\displaystyle{\angle AKO=\angle ABM=\pi-\angle ACM}$
Άρα, ATLOK

εγγράψιμο.
Τότε (από spiral similarity ας πούμε) KTL

ισοσκελές με TK=TL

.
Έστω $S=AM\cap (ATLOK)$
Τότε SK=SL

και $SO\perp MT\implies SO\perp AN$
Όμως το ANMT

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα T,S,N

συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται, αφού

μεσοκάθετος του

,

#3

Λόγω παραλληλίας και αφού το ABMC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι

$\displaystyle \angle AKO+\angle ALO=\angle ABM+\angle ACM=180^\circ,$

δηλ. το τετράπλευρο AKOL

είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Έστω ότι η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC

στο

. Είναι

$\displaystyle \angle FAC=\angle FMC=\angle FOL,$

δηλ. τo AFLO

είναι εγγράψιμο. Έτσι, τα A,K,O,L,F

είναι ομοκυκλικά. Επιπλέον, με κυνήγι γωνιών παίρνουμε

$\displaystyle \angle FKL=\angle FAC=\angle FMC=\angle FMB=\angle FOK=\angle FLK,$

δηλ. το τρίγωνο FKL

είναι ισοσκελές με FK=FL.

Λόγω παραλληλίας, και αφού το BOM

είναι ισοσκελές με OB=OM

, είναι

$\displaystyle \angle KOB=\angle OBM=\angle OMB=\angle FOK.$

Έτσι τα τρίγωνα KOB

και

είναι ίσα από ΠΓΠ, κι άρα BK=KF

. Έτσι, $\angle KBF=\angle KFB.$

Από την παραλληλία των

και

παίρνουμε

$\displaystyle \angle NFM=\angle ANF=\angle ABF=\angle KBF=\angle KFB.$

Έτσι,

$\displaystyle \angle KFN=\angle BFM=90^\circ -\angle FBC=90^\circ-\angle FKL.$

Άρα η

είναι κάθετη στο

, κι αφού το KFL

είναι ισοσκελές με KF=FL

, η

είναι η μεσοκάθετος του

. Συνεπώς, KN=NL

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Μέλη σε σύνδεση