Σελίδα 1 από 1

Μία πλευρά

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 27, 2019 4:16 pm
από george visvikis
Μία πλευρά.png
Μία πλευρά.png (15.9 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC (AB>BC), M είναι το μέσο της πλευράς AC, H το ορθόκεντρο και η MH τέμνει

το τόξο \overset\frown {BC} του περιγεγραμμένου κύκλου στο P. Αν η AP είναι διάμετρος του κύκλου και MH=5, HP=16,

να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς BC.

Re: Μία πλευρά

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 27, 2019 9:37 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
george visvikis έγραψε:
Παρ Σεπ 27, 2019 4:16 pm
Μία πλευρά.png
Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC (AB>BC), M είναι το μέσο της πλευράς AC, H το ορθόκεντρο και η MH τέμνει

το τόξο \overset\frown {BC} του περιγεγραμμένου κύκλου στο P. Αν η AP είναι διάμετρος του κύκλου και MH=5, HP=16,

να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς BC.
Καλησπέρα!

Αν L μέσο του BC και B' το αντιδιαμετρικό του B τότε θα είναι H,L,P,M,B' συνευθεικά με MB'=MH,LH=LP
Από δύναμη σημείου είναι LP\cdot LB'=LB\cdot LC\Leftrightarrow 8\left ( 8+5+5 \right )=\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow BC=24

Re: Μία πλευρά

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Σεπ 28, 2019 9:51 am
από george visvikis
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Σεπ 27, 2019 9:37 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Σεπ 27, 2019 4:16 pm
Μία πλευρά.png
Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC (AB>BC), M είναι το μέσο της πλευράς AC, H το ορθόκεντρο και η MH τέμνει

το τόξο \overset\frown {BC} του περιγεγραμμένου κύκλου στο P. Αν η AP είναι διάμετρος του κύκλου και MH=5, HP=16,

να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς BC.
Καλησπέρα!

Αν L μέσο του BC και B' το αντιδιαμετρικό του B τότε θα είναι H,L,P,M,B' συνευθεικά με MB'=MH,LH=LP
Από δύναμη σημείου είναι LP\cdot LB'=LB\cdot LC\Leftrightarrow 8\left ( 8+5+5 \right )=\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow BC=24
Για μία ακόμη φορά έδειξες ότι είσαι δεινός λύτης :clap2:

Παρατηρώ επίσης ότι μέρα με τη μέρα αποκτάς την εμπειρία να βρίσκεις την απλούστερη λύση.

Re: Μία πλευρά

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Σεπ 28, 2019 10:54 am
από Doloros
Προφανώς η λύση του νεαρού Φωτιάδη είναι εξαιρετική . :coolspeak:

Ας δούμε μια πιο ακόμη.

Επειδή CH \bot AB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PB \bot AB θα είναι , HC//PB και ομοίως HB//CP οπότε

το τετράπλευρο HBPC είναι παραλληλόγραμμο και η HP διέρχεται από το μέσο , έστω Nτου BC.

Η πλευρά \boxed{AB// = 2NM = 26} και έτσι αν η CH τέμνει την AB στο E θα είναι :

CH \bot MP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = 16\,\,,\,\,EA = 10. Ας είναι T το άλλο σημείο τομής της PH με τον κύκλο ,

Μια πλευρά 1.png
Μια πλευρά 1.png (38.01 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
Το τετράπλευρο ABPT είναι ορθογώνιο , το τμήμα MT = u = 26 - (16 + 5) = 5.

Τώρα του τριγώνου ABC μπορώ να υπολογίσω και τις άλλες πλευρές:

α) BN \cdot NC = PN \cdot NT = 8 \cdot 18 = 16 \cdot 9 = {12^2} \Rightarrow \boxed{BC = 24} και

β) AM \cdot MC = PM \cdot MT = 21 \cdot 5 \Rightarrow \boxed{AC = 2\sqrt {105} }.