Από λόγο σε λόγο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11370
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από λόγο σε λόγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 25, 2019 9:43 pm

Από  λόγο  σε  λόγο.png
Από λόγο σε λόγο.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές
Σε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC "εγγράψαμε" ( πώς ; ) τον ρόμβο BPST .

Αν \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{3} , υπολογίστε τον λόγο \dfrac{BS}{TP} των διαγωνίων του ρόμβου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1214
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Από λόγο σε λόγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Σεπ 25, 2019 11:29 pm

Καλό βράδυ.
Από λόγο σε λόγο KARKAR.PNG
Από λόγο σε λόγο KARKAR.PNG (6.11 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
...\dfrac{BS}{PT}=\sqrt{2}


kfd
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Από λόγο σε λόγο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Πέμ Σεπ 26, 2019 12:27 am

Φέρω τη διχοτόμο ΒS της Β και τη μεσοκάθετή της που τέμνει τις ΑΒ,ΒC στα Τ,Ρ αντίστοιχα.
Ο λόγος που δίνεται είναι το συν2ω και από τον τύπο του διπλασίου τόξου βρίσκουμε cos\omega =\sqrt{\frac{2}{3}}.
Άρα sin^{2}\omega =\frac{1}{3} και 1+cot^{2}\omega =3\Rightarrow cot\omega =\sqrt{2} που είναι και ο ζητούμενος λόγος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από λόγο σε λόγο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 26, 2019 3:57 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 25, 2019 9:43 pm
Από λόγο σε λόγο.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC "εγγράψαμε" ( πώς ; ) τον ρόμβο BPST .

Αν \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{3} , υπολογίστε τον λόγο \dfrac{BS}{TP} των διαγωνίων του ρόμβου .
Έστω δυο κάθετες ευθείες στο σημείο A. Στην οριζόντια παίρνω σημείο C και έστω

AC = 8k\,\,,k > 0. Στο AC παίρνω σημείο S με AS = 2k και το αρμονικό συζυγές του σημείο E ως προς τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.

Απο  λόγο σε λόγο.png
Απο λόγο σε λόγο.png (23.07 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
Θα είναι EA = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ES = 6k = SC . Ο κύκλος , κέντρου O, διαμέτρου ES(Απολλώνιος) τέμνει τη κατακόρυφη ευθεία στο B .

Η BSαπό κατασκευής είναι η διχοτόμος του \vartriangle ABC , οπότε η μεσοκάθετος σ αυτή θα τέμνει τις BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC στα T και P

Αν M το σημείο τομής των AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT τα τρίγωνα BES\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MBT\,\, είναι προφανώς όμοια και άρα :

\boxed{\frac{{BS}}{{TP}} = \frac{{2BM}}{{2MT}} = \frac{{BM}}{{MT}} = \frac{{BE}}{{BS}} = \sqrt {\frac{{AE}}{{AS}}}  = \sqrt {\frac{{4k}}{{2k}}}  = \sqrt 2 }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από λόγο σε λόγο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 26, 2019 11:37 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 25, 2019 9:43 pm
Από λόγο σε λόγο.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC "εγγράψαμε" ( πώς ; ) τον ρόμβο BPST .

Αν \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{3} , υπολογίστε τον λόγο \dfrac{BS}{TP} των διαγωνίων του ρόμβου .
Η κατασκευή έχει ήδη δοθεί. Έστω AB=c, BC=3c, απ' όπου b=2c\sqrt 2.
Από λόγο σε λόγο.Κ.png
Από λόγο σε λόγο.Κ.png (10.03 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές
\displaystyle \frac{{BS}}{{TP}} = \frac{{BM}}{{TM}} = \frac{c}{{b/4}} = \sqrt 2 (Χρησιμοποιήθηκε το θ. διχοτόμου και η ομοιότητα των BTM, BAS)


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1868
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Από λόγο σε λόγο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Σεπ 26, 2019 4:28 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 25, 2019 9:43 pm
Από λόγο σε λόγο.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC "εγγράψαμε" ( πώς ; ) τον ρόμβο BPST .

Αν \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{3} , υπολογίστε τον λόγο \dfrac{BS}{TP} των διαγωνίων του ρόμβου .

Για την κατασκευή ,προεκτείνουμε την CB κατά τμήμα BL=AB=c,συνεπώς το τρίγωνο ABL είναι ισοσκελές με \hat{BLA}=\hat{BAL}=\omega
BS//AL,\hat{ABS}=\hat{SBC}=\omega ,PS\perp AC,TS//CB, και προφανώς το τετράπλευρο BPST είναι ρόμβος
PS//AB,\dfrac{x}{c}=\dfrac{b-y}{b}, ST//BC,\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b},x=\dfrac{ac}{a+c}
Στο ορθογώνιο τρίγωνο TOS,x^{2}=OT^{2}+OS^{2},x=TS και λόγω της σχέσης a=3c

TP^{2}+BS^{2}=\dfrac{9c^{2}}{4},(3)
Από την ομοιότητα των τριγώνων OTS,ASB,BS^{2}=\dfrac{3c^{2}}{2},(4), (3),(4)\Rightarrow TP^{2}=\dfrac{3c^{2}}{4},\dfrac{SB^{2}}{TP^{2}}=2\Leftrightarrow \dfrac{SB}{TP}=\sqrt{2}


Γιάννης
Συνημμένα
Από λόγο σε λόγο.png
Από λόγο σε λόγο.png (51.14 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης