Τόπος εντός παραλληλογράμμου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8495
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τόπος εντός παραλληλογράμμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 23, 2019 7:48 pm

Τόπος εντός παραλληλογράμμου.png
Τόπος εντός παραλληλογράμμου.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
Στις πλευρές AD, CD παραλληλογράμμου ABCD, θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία P, Q,

ώστε AP=CQ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής M, των AQ, CP.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Σεπ 23, 2019 8:22 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Σεπ 23, 2019 7:48 pm
Τόπος εντός παραλληλογράμμου.png
Στις πλευρές AD, CD παραλληλογράμμου ABCD, θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία P, Q,

ώστε AP=CQ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής M, των AQ, CP.
Καλησπέρα!

Έστω AM\cap BC\equiv T,AP=QC=x,AB=b,BC=a

Από θεώρημα Μενελάου στο \overset{\Delta }{DCP} διατέμνουσας \overline{QMA} είναι \dfrac{x}{b-x}\cdot \dfrac{a}{x}\cdot \dfrac{MP}{MC}\Leftrightarrow \dfrac{MP}{MC}=\dfrac{b-x}{x}\overset{\Theta \alpha \lambda \acute{\eta} \varsigma }{\Leftrightarrow} \dfrac{MA}{MT}=\dfrac{b-x}{x}

Επίσης έχουμε \dfrac{x}{b-x}=\dfrac{TC}{a}\Leftrightarrow TC=\dfrac{ax}{b-x}

\dfrac{AB}{BT}=\dfrac{b}{a+\dfrac{ax}{b-x}}=\dfrac{b-x}{a}=\dfrac{AM}{TM}


Άρα ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το τμήμα της διχοτόμου της \angle B μεταξύ των AC,DC(το πράσινο στο σχήμα)
141.PNG
141.PNG (18.48 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 24, 2019 12:06 am

Έστω T σημείο της πλευράς AB με AT = AP = QC = x και S το σημείο τομής των ευθειών BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD. Θέτω ακόμα : TB = DQ = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = AD = b.

Από τα όμοια τρίγωνα MBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MSP έχω: \boxed{\frac{{MC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{PS}} \Leftrightarrow \frac{{MC}}{{MP}} = \frac{b}{{PS}}}\,\,\,(1)

Από το Θ. Μενέλαου στο \vartriangle DPC με διατέμνουσα \overline {QMA} έχω και λόγω της (1):

\boxed{\frac{{DA}}{{AP}} \cdot \frac{{PM}}{{MC}} \cdot \frac{{CQ}}{{QD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{b}{x} \cdot \frac{{PS}}{b} \cdot \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow PS = y}\,\,(2)
Τόπος εντός παραλληλογράμμου_oritzin.png
Τόπος εντός παραλληλογράμμου_oritzin.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι το τρίγωνο ABS είναι ισοσκελές με κορυφή το A.

Άμεση συνέπεια : \widehat S = \widehat {{\theta _1}}\,\,\,\, και αφού AS//BC \Leftrightarrow \widehat S = \widehat {{\theta _2}}, θα είναι \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}} .

Ο γεωμετρικός τόπος που ζητάμε είναι το τμήμα της διχοτόμου BS που εκτείνεται

Ανάμεσα στα σημεία τομής της με την διαγώνιο AC\,\, και τη πλευρά DC.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1104
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Σεπ 24, 2019 10:00 pm

Καλό βράδυ σε όλους , ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον Σιλουανό!
Τόπος..G.V.PNG
Τόπος..G.V.PNG (8.47 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Φέρω τα ύψη ML,MN των τριγώνων MAB και MBC.
Σύμφωνα με το θέμα Λόγοι παράγουν νέο λόγο(απόδειξη εκεί από τον θεματοθέτη του παρόντος ..:coolspeak: )

παίρνουμε \dfrac{\left ( MBC \right )}{\left ( MAB \right )}=\dfrac{BC}{AB}\cdot \dfrac{CQ}{AP} \Leftrightarrow \dfrac{MN\cdot BC}{ML\cdot AB}=\dfrac{BC}{AB}\cdot \dfrac{CQ}{AP}.

Στο παρόν θέμα ισχύει ειδικά CQ=AP , άρα MN=ML δηλ. η BM είναι η διχοτόμος της \widehat{B}.

Ο τόπος λοιπόν του M είναι το πράσινο τμήμα της διχοτόμου στο εσωτερικό του τριγώνου DAC. Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8495
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 25, 2019 11:14 am

Ευχαριστώ τον Πρόδρομο, το Νίκο και το Γιώργο για τις λύσεις τους και δίνω έναν άλλο τρόπο για την απόδειξη της διχοτόμου. Έστω ότι η AM τέμνει την BC στο N.
Τόπος εντός παραλληλογράμμου.β.png
Τόπος εντός παραλληλογράμμου.β.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
\displaystyle \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AP}}{{CN}} = \frac{{QC}}{{CN}} = \frac{{AB}}{{BN}} και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης