Ίσες χορδές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσες χορδές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 21, 2019 7:34 pm

Ίσες χορδές.png
Ίσες χορδές.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές
Από τυχαίο σημείο P της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat B, τριγώνου ABC φέρνω τα εφαπτόμενα

τμήματα PK, PM στον εγγεγραμμένο κύκλο. Οι BK, BM επανατέμνουν τον κύκλο στα L, N

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι KL=MN.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ίσες χορδές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Σεπ 21, 2019 8:51 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 21, 2019 7:34 pm
Ίσες χορδές.png
Από τυχαίο σημείο P της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat B, τριγώνου ABC φέρνω τα εφαπτόμενα

τμήματα PK, PM στον εγγεγραμμένο κύκλο. Οι BK, BM επανατέμνουν τον κύκλο στα L, N

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι KL=MN.
Καλησπέρα!

Θεωρούμε I το έκκεντρο του ABC. Είναι \angle IBP=\angle PKI=\angle IMP=90^{\circ}
Έτσι PKIMB εγγράψιμο άρα \angle IBL=\angle IMK=\angle MKI=\angle MBI
Επίσης \angle LMP=\angle LKM=\angle BPM\Leftrightarrow PB//LM\Leftrightarrow BI\perp LM
Δηλαδή στο τρίγωνο LBM η BI είναι διχοτόμος και ύψος άρα BL=BM και το ζητούμενο προκύπτει από το θεώρημα της δύναμης σημείου.
137.PNG
137.PNG (42.88 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσες χορδές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Σεπ 22, 2019 1:38 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 21, 2019 7:34 pm
Ίσες χορδές.png
Από τυχαίο σημείο P της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας \widehat B, τριγώνου ABC φέρνω τα εφαπτόμενα

τμήματα PK, PM στον εγγεγραμμένο κύκλο. Οι BK, BM επανατέμνουν τον κύκλο στα L, N

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι KL=MN.

Τα PKIM,KIBP,PIMB είναι εγγράψιμα,άρα \angle P_2= \angle B_2 , \angle P_1= \angle B_1 κι επειδή  \angle P_1= \angle P_2  \Rightarrow  \angle B_1= \angle B_2

Τότε, \triangle EIB= \triangle IZB \Rightarrow IE=IZ \Rightarrow KL=MN
Ίσες χορδές.png
Ίσες χορδές.png (31.93 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες