Και ορθογώνιο ;

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11354
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Και ορθογώνιο ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Σεπ 21, 2019 1:15 pm

Και  ορθογώνιο ;.png
Και ορθογώνιο ;.png (8.06 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει βάση BC=8 και ύψος AD=5 ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) . Επίσης

είναι : AT=\dfrac{1}{3}AC , BP=\dfrac{3}{4}BC . Α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου SBP .

Β) Κατασκευάστε το αρχικό τρίγωνο έτσι , ώστε η γωνία \widehat{BSP} να είναι ορθή .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8949
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Και ορθογώνιο ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 21, 2019 2:41 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Σεπ 21, 2019 1:15 pm
Και ορθογώνιο ;.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει βάση BC=8 και ύψος AD=5 ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) . Επίσης

είναι : AT=\dfrac{1}{3}AC , BP=\dfrac{3}{4}BC . Α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου SBP .

Β) Κατασκευάστε το αρχικό τρίγωνο έτσι , ώστε η γωνία \widehat{BSP} να είναι ορθή .
Και ορθογώνιο.png
Και ορθογώνιο.png (9.43 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
A) Θεώρημα Μενελάου στο APC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {BST}: \displaystyle \frac{{PS}}{{SA}} \cdot \frac{{AT}}{{TC}} \cdot \frac{{CB}}{{BP}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{PS}}{{SA}} = \frac{{TC}}{{AT}} \cdot \frac{{BP}}{{CB}} \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{PS}}{{SA}} = 2 \cdot \frac{6}{8} \Leftrightarrow \frac{{PS}}{{PA}} = \frac{3}{5} = \frac{{(SBP)}}{{(ABP)}} \Leftrightarrow (SBP) = \frac{3}{5} \cdot 15 \Leftrightarrow \boxed{(SBP)=9}

B) Το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου BSP είναι 3, ίσο με τη διάμεσο που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Εξάλλου η κορυφή A βρίσκεται σε ευθεία \varepsilon παράλληλη της BC σε απόσταση 5. Οδηγούμαστε λοιπόν, στην παρακάτω κατασκευή.

Πάνω στην πλευρά BC=8 θεωρώ σημείο P ώστε BP=6. Φέρνω ευθεία \varepsilon||BC και σε απόσταση 5 από αυτήν. Με υποτείνουσα BP κατασκευάζω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο BPS. (Το S και η \varepsilon προς το ίδιο μέρος της BC). Η PS τέμνει την \varepsilon στην τρίτη κορυφή A του ζητούμενου τριγώνου.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7028
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Και ορθογώνιο ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Σεπ 21, 2019 8:13 pm

α) Η κορυφή A διαγράφει σταθερή ευθεία h//BC σε απόσταση 5.

Ας είναι D το σημείο τομής της BS με την h.

Επειδή CT = 2TA \Rightarrow BC = 2AD \Rightarrow 8 = 2AD \Rightarrow \boxed{AD = 4}.

Για τα όμοια τρίγωνα , SBP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SDA με εμβαδά , X\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Y και λόγο ομοιόυηυας

\lambda  = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\,\, θα είναι \dfrac{X}{Y} = \dfrac{9}{4}\,\,\,(1) . Προφανές ότι (ABP) = 15 \Rightarrow (ABS) = 15 - X\,\,(2)

Αλλά {(ABS)^2} = XY που λόγω των (1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) γίνεται:

{(15 - X)^2} = {\left( {\dfrac{{2X}}{3}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{X = 9}
Και ορθογώνιο.png
Και ορθογώνιο.png (22.85 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
β) Προφανές τώρα ότι το ύψος του \vartriangle SBP είναι 3 και άρα το S διαγράφει

σταθερή ευθεία g//BC σε απόσταση 3.

Η τομή της g με το ημικύκλιο διαμέτρου AP δίδει ( λόγω επαφής )

μοναδικό σημείο {T_0} και η ευθεία P{T_0} τέμνει την h στο A.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης