Σταθερό άθροισμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11207
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερό άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Σεπ 20, 2019 9:13 pm

Σταθερό  άθροισμα.png
Σταθερό άθροισμα.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Τα σημεία B' , A' , C' είναι οι προβολές των κορυφών του πλευράς a , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

σε ευθεία η οποία διέρχεται από το κέντρο του . Υπολογίστε το άθροισμα : BB'^2+AA'^2+CC'^2 .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1735
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σταθερό άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Σεπ 21, 2019 1:56 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 9:13 pm
Σταθερό άθροισμα.pngΤα σημεία B' , A' , C' είναι οι προβολές των κορυφών του πλευράς a , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

σε ευθεία η οποία διέρχεται από το κέντρο του . Υπολογίστε το άθροισμα : BB'^2+AA'^2+CC'^2 .

Έστω AA'=y,BB'=y,CC'=z

Θεωρώντας τον περίκυκλο του  \triangle ABC ,τα συμμετρικά E,D,L των  A,B,C ως προς την B'C' είναι

σημεία του κύκλου και τα DBCL,DBCE,ALEB είναι ισοσκελή τραπέζια

Ισχύει, AE=BE+EC \Leftrightarrow 2z+2x=2y \Leftrightarrow  \big(z+x\big)^2=y^2 \Leftrightarrow z^2+x^2=y^2-2xz \

Αλλά από θ.Πτολεμαίου στο ισοσκελές τραπέζιο ALEB \Leftrightarrow a^2+4xz=4y^2 \Leftrightarrow y^2-xz= \dfrac{a^2}{4}

Άρα x^2+y^2+z^2= \dfrac{a^2}{2}
σταθερό άθροισμα.png
σταθερό άθροισμα.png (30.73 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8793
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 21, 2019 10:55 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 9:13 pm
Σταθερό άθροισμα.pngΤα σημεία B' , A' , C' είναι οι προβολές των κορυφών του πλευράς a , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

σε ευθεία η οποία διέρχεται από το κέντρο του . Υπολογίστε το άθροισμα : BB'^2+AA'^2+CC'^2 .
Έστω M το μέσο της BC. Από το εγγράψιμο BB'OM, είναι \displaystyle M\widehat {B'}M' = 30^\circ  \Rightarrow \boxed{B'M' = MM'\sqrt 3} (1)
Σταθερό άθροισμα.Κ.png
Σταθερό άθροισμα.Κ.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
\boxed{AA'=2MM'=BB'+CC'} (2)

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
B{{M'}^2} = B'{{M'}^2} + B{{B'}^2}\\ 
\\ 
C{{M'}^2} = B'{{M'}^2} + C{{C'}^2} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \oplus  2M{{M'}^2} + \frac{{{a^2}}}{2} = B{{B'}^2} + C{{C'}^2} + 2B'{{M'}^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)}

\displaystyle \frac{{{a^2}}}{2} = B{{B'}^2} + C{{C'}^2} + 4M{{M'}^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(2)} \boxed{AA' + B{{B'}^2} + C{{C'}^2} = \frac{{{a^2}}}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης