Κύκλοι και λόγοι

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10875
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κύκλοι και λόγοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 17, 2019 12:17 pm

Κύκλοι  και  λόγοι.png
Κύκλοι και λόγοι.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Με τα σημεία O,Q τριχοτομήσαμε το τμήμα AB . Γράψαμε τον κύκλο (O,OA) , προς τον οποίο

φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα BS,BT . Γράψαμε και το ημικύκλιο διαμέτρου BT , το οποίο

τέμνει τον κύκλο στο σημείο L και την BS στο σημείο N .

α) Η ευθεία SL τέμνει την BT στο P . Υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{BP}{PT} , \dfrac{SL}{LP} .

β) Δείξτε ότι τα A,L,N είναι συνευθειακά και υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{LN}{LA}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλοι και λόγοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 18, 2019 12:32 pm

α) Αβίαστα προκύπτουν:

Η ST είναι μεσοκάθετος στα AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OQ στο κοινό μέσο του M .

Τα τρίγωνα AST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BST είναι ισόπλευρα πλευράς R\sqrt 3 \,\,\,(\,\,AO = OQ = QB = R).

Το Q βαρύκεντο \vartriangle STB \Rightarrow SN = NB

Το τετράπλευρο ATBSείναι ρόμβος.. Έστω E το σημείο τομής των LA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST.

Επειδή \widehat {TAS} = 60^\circ θα είναι \widehat {SLA} = \widehat {ALT} = \widehat {TLP} = 60^\circ \,\,, προφανώς δε \widehat {MBT} = \widehat {MLT} = \widehat {MLE} = 30^\circ .

Στο \vartriangle LET η LM είναι εσωτερική και η LS εξωτερική διχοτόμος , έτσι η τετράδα :

\left( {E,T\backslash S,M} \right) είναι αρμονική με λόγο συζυγίας : \boxed{\frac{{ME}}{{SE}} = \frac{{MT}}{{ST}} = \frac{1}{2}} .

Θέτω : SL = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LP = y και θα είναι \boxed{LT = 2x} . Από Θ. συνημίτονου στο \vartriangle LST

έχω : \boxed{SL = x = \frac{{\sqrt {21} }}{7}R}\,\,\,(1) .
Κύκλοι και λόγοι_KARKAR.png
Κύκλοι και λόγοι_KARKAR.png (60.86 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Αλλά το τετράπλευρο ELPT είναι εγγράψιμο γιατί οι γωνίες του στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L

έχουν άθροισμα : 60^\circ  + 120^\circ  = 180^\circ .

Θα ισχύει : SL \cdot SP = SE \cdot ST . Αλλά 3SE = ST\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = R\sqrt 3 οπότε λόγω της (1) έχω:

\boxed{SP = \frac{{\sqrt {21} }}{3}R}\,\,(2) . Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) έχω: \boxed{\frac{{SL}}{{SP}} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow \frac{{SL}}{{LP}} = \frac{3}{4}}

Στα δύο άλλα ερωτήματα τα πράγματα είναι πιο απλά ( από πλευράς πράξεων)

β ) Επειδή \dfrac{{ME}}{{ES}} = \dfrac{{MQ}}{{QB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow EQ//SB \Rightarrow \widehat {MEQ} = 60^\circ  = \widehat {TLP} και αναγκαστικά η

EQ θα διέρχεται από το P , συνεπώς \boxed{\frac{{BP}}{{TP}} = \frac{1}{2}}

γ) στο τρίγωνο SMB θεωρώ διατέμνουσα την AE που θεωρώ ότι τέμνει την SB

στο σημείο {N_1} και από Θ. Μενελάου έχω :

\dfrac{{SE}}{{EM}} \cdot \dfrac{{MA}}{{AB}} \cdot \dfrac{{B{N_1}}}{{{N_1}S}} = 1 \Rightarrow \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{B{N_1}}}{{{N_1}S}} = 1 \Rightarrow B{N_1} = {N_1}S άρα \boxed{N \equiv {N_1}}.

Τέλος επειδή AT//SB και EP//SN θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AE}}{{EN}} = \frac{{TE}}{{ES}} = 2 \hfill \\ 
  \frac{{EL}}{{LN}} = \frac{{LP}}{{LS}} = \frac{4}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{AL}}{{LN}} = 6}
κύκλου λόγοι.png
κύκλου λόγοι.png (3.94 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες