Σελίδα 1 από 1

Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 08, 2019 10:03 am
από george visvikis
Κατασκευή ρόμβου.png
Κατασκευή ρόμβου.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές
Στα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος AB και προς το ίδιο μέρος του υψώνω τις κάθετες ημιευθείες Ax, By και έστω

K ένα σημείο του AB. α) Να κατασκευάσετε ρόμβο KLMN με N, L σημεία των ημιευθειών Ax, By αντίστοιχα

και M\widehat KL=60^\circ.

β) Αν το K είναι τυχαίο σημείο του τμήματος AB, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο (και τα οριακά σημεία) του M.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 08, 2019 3:45 pm
από Doloros
Κατασκευή Ρόμβου.png
Κατασκευή Ρόμβου.png (16.73 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές
α) AT = TS = SB και \boxed{KS + MZ = \frac{{AB}}{3}}

β) Ο γ. τ. είναι η προβολή του TS σε ευθεία παράλληλη στην AB και σε

απόσταση : \boxed{d = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}}

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 08, 2019 8:44 pm
από ksofsa
Λίγο διαφορετικά:

Εστω O το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου.

Τότε από τα εγγράψιμα ANOK, BLOK

έχω \angle OAB=\angle OBA=\frac{\pi }{6}

Αρα το O είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

Αρα σταθερό σημείο και συνάμα κατασκευάσιμο.

Το M

είναι το συμμετρικό του K ως προς O

και τα N,L τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου του KM με τις Ax, By.

Τα σημεία M βρίσκονται στο ευθύγραμμο τμήμα το συμμετρικό του AB

ως προς το O.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 08, 2019 9:00 pm
από ksofsa
Βασικά, το K

δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του AB.

Η μία οριακή θέση του K είναι όταν το N συμπίπτει με το A και η άλλη όταν το L συμπίπτει με το B.

Δηλαδή οι θέσεις του K είναι στο μέσο τριτημόριο του AB.

Αντίστοιχα , οι θέσεις του M στο συμμετρικό τμήμα του μέσου τριτημορίου του AB ως προς O.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 09, 2019 5:59 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Το σημείο L μπορεί να προκύψει σαν τομή της Bx με την ευθεία που
είναι η Ax στραμμένη αριστερόστροφα κατά \frac{2\pi }{3}
με κέντρο το K.
Οι περιορισμοί για το K προκύπτουν γιατί θέλουμε να υπάρχει τομή.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
από george visvikis
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Κατασκευή ρόμβου.2.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).
Τα παρακάτω είναι λανθασμενα
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το K σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το M θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας By στραμμένης δεξιόστροφα κατά 60 μοίρες με κέντρο το
K.
Αν το K μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 11:26 am
από george visvikis
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm
george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το K σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το M θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας By στραμμένης δεξιόστροφα κατά 60 μοίρες με κέντρο το
K.
Αν το K μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.
Καλημέρα Σταύρο!

Έχω την εντύπωση ότι αν το K είναι σταθερό, υπάρχει μοναδικός ρόμβος KLNM με αυτές τις προδιαγραφές.

Δηλαδή, N, L να είναι σημεία των ημιευθειών Ax, By και M\widehat KL=60^\circ. (Ίσως όμως κάτι να μου διαφεύγει).

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 12:02 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 11:26 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm
george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το K σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το M θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας By στραμμένης δεξιόστροφα κατά 60 μοίρες με κέντρο το
K.
Αν το K μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.
Καλημέρα Σταύρο!

Έχω την εντύπωση ότι αν το K είναι σταθερό, υπάρχει μοναδικός ρόμβος KLNM με αυτές τις προδιαγραφές.

Δηλαδή, N, L να είναι σημεία των ημιευθειών Ax, By και M\widehat KL=60^\circ. (Ίσως όμως κάτι να μου διαφεύγει).
Καλημέρα Γιώργο.
Έχεις δίκιο είναι μοναδικός ο Ρόμβος.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.

Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.

Στο 0 θέτουμε το A και στο 1 το B

Εστω z
το σημείο L
w
το σημείο N
w_{1}
το σημείοM
επίσης το 0\leq a\leq 1
είναι το σημείο K

Είναι w=a+(z-a)\sqrt{3}e^{i\frac{\pi }{6}}, z-a=(w-a)\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-i\frac{\pi }{6}
(μετασχηματισμός ομοιότητας)

Επειδή z+\bar{z}=2,w+\bar{w}=0

προκύπτει κάνοντας πράξεις ότι

w=i\sqrt{3}(2-a)
Ετσι θα είναι

z=a+\frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{\sqrt{3}}(i\sqrt{3}(2-a)-a)
Αλλά
w_{1}=a+(z-a)e^{i\frac{\pi }{3}}
(στροφή)

κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι

w_{1}=a-1+i\frac{6-4a}{2\sqrt{3}}

Από την τελευταια προκύπτει ότι το w_{1}

βόσκει πάνω στην ευθεία \sqrt{3}y+2x=1 με το -1\leq x\leq 0.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 8:01 pm
από george visvikis
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.
Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.
Αυτό ακριβώς είναι Σταύρο, για A(0,0), B(1,0).
Δεν μπόρεσα πάντως να βρω Ευκλείδεια λύση

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 11, 2019 8:11 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 8:01 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.
Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.
Αυτό ακριβώς είναι Σταύρο, για A(0,0), B(1,0).
Δεν μπόρεσα πάντως να βρω Ευκλείδεια λύση
Γιώργο έβαλα παραπάνω την λύση με μιγαδικούς.

Νομίζω ότι μπορεί να ''μεταφρασθεί'' σε Ευκλείδεια.

Re: Κατασκευή ρόμβου

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 13, 2019 5:57 pm
από george visvikis
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.

Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.

Στο 0 θέτουμε το A και στο 1 το B

Εστω z
το σημείο L
w
το σημείο N
w_{1}
το σημείοM
επίσης το 0\leq a\leq 1
είναι το σημείο K

Είναι w=a+(z-a)\sqrt{3}e^{i\frac{\pi }{6}}, z-a=(w-a)\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-i\frac{\pi }{6}
(μετασχηματισμός ομοιότητας)

Επειδή z+\bar{z}=2,w+\bar{w}=0

προκύπτει κάνοντας πράξεις ότι

w=i\sqrt{3}(2-a)
Ετσι θα είναι

z=a+\frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{\sqrt{3}}(i\sqrt{3}(2-a)-a)
Αλλά
w_{1}=a+(z-a)e^{i\frac{\pi }{3}}
(στροφή)

κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι

w_{1}=a-1+i\frac{6-4a}{2\sqrt{3}}

Από την τελευταια προκύπτει ότι το w_{1}

βόσκει πάνω στην ευθεία \sqrt{3}y+2x=1 με το -1\leq x\leq 0.
Σ' ευχαριστώ Σταύρο για τη λύση :coolspeak: Δίνω το σχήμα.


Κατασκευή ρόμβου.β.png
Κατασκευή ρόμβου.β.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές