Κατασκευή ρόμβου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή ρόμβου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 08, 2019 10:03 am

Κατασκευή ρόμβου.png
Κατασκευή ρόμβου.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές
Στα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος AB και προς το ίδιο μέρος του υψώνω τις κάθετες ημιευθείες Ax, By και έστω

K ένα σημείο του AB. α) Να κατασκευάσετε ρόμβο KLMN με N, L σημεία των ημιευθειών Ax, By αντίστοιχα

και M\widehat KL=60^\circ.

β) Αν το K είναι τυχαίο σημείο του τμήματος AB, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο (και τα οριακά σημεία) του M.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6779
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή ρόμβου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Σεπ 08, 2019 3:45 pm

Κατασκευή Ρόμβου.png
Κατασκευή Ρόμβου.png (16.73 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές
α) AT = TS = SB και \boxed{KS + MZ = \frac{{AB}}{3}}

β) Ο γ. τ. είναι η προβολή του TS σε ευθεία παράλληλη στην AB και σε

απόσταση : \boxed{d = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}}


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κατασκευή ρόμβου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Σεπ 08, 2019 8:44 pm

Λίγο διαφορετικά:

Εστω O το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου.

Τότε από τα εγγράψιμα ANOK, BLOK

έχω \angle OAB=\angle OBA=\frac{\pi }{6}

Αρα το O είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

Αρα σταθερό σημείο και συνάμα κατασκευάσιμο.

Το M

είναι το συμμετρικό του K ως προς O

και τα N,L τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου του KM με τις Ax, By.

Τα σημεία M βρίσκονται στο ευθύγραμμο τμήμα το συμμετρικό του AB

ως προς το O.


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κατασκευή ρόμβου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Σεπ 08, 2019 9:00 pm

Βασικά, το K

δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του AB.

Η μία οριακή θέση του K είναι όταν το N συμπίπτει με το A και η άλλη όταν το L συμπίπτει με το B.

Δηλαδή οι θέσεις του K είναι στο μέσο τριτημόριο του AB.

Αντίστοιχα , οι θέσεις του M στο συμμετρικό τμήμα του μέσου τριτημορίου του AB ως προς O.


Κώστας Σφακιανάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κατασκευή ρόμβου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 09, 2019 5:59 pm

Το σημείο L μπορεί να προκύψει σαν τομή της Bx με την ευθεία που
είναι η Ax στραμμένη αριστερόστροφα κατά \frac{2\pi }{3}
με κέντρο το K.
Οι περιορισμοί για το K προκύπτουν γιατί θέλουμε να υπάρχει τομή.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ρόμβου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm

Κατασκευή ρόμβου.2.png
Κατασκευή ρόμβου.2.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κατασκευή ρόμβου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).
Τα παρακάτω είναι λανθασμενα
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το K σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το M θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας By στραμμένης δεξιόστροφα κατά 60 μοίρες με κέντρο το
K.
Αν το K μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τετ Σεπ 11, 2019 12:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ρόμβου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 11, 2019 11:26 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm
george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το K σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το M θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας By στραμμένης δεξιόστροφα κατά 60 μοίρες με κέντρο το
K.
Αν το K μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.
Καλημέρα Σταύρο!

Έχω την εντύπωση ότι αν το K είναι σταθερό, υπάρχει μοναδικός ρόμβος KLNM με αυτές τις προδιαγραφές.

Δηλαδή, N, L να είναι σημεία των ημιευθειών Ax, By και M\widehat KL=60^\circ. (Ίσως όμως κάτι να μου διαφεύγει).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κατασκευή ρόμβου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 11, 2019 12:02 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 11:26 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm
george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του M αν ο ρόμβος είναι KLNM; (Δεν έχω λύση).
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το K σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το M θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας By στραμμένης δεξιόστροφα κατά 60 μοίρες με κέντρο το
K.
Αν το K μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.
Καλημέρα Σταύρο!

Έχω την εντύπωση ότι αν το K είναι σταθερό, υπάρχει μοναδικός ρόμβος KLNM με αυτές τις προδιαγραφές.

Δηλαδή, N, L να είναι σημεία των ημιευθειών Ax, By και M\widehat KL=60^\circ. (Ίσως όμως κάτι να μου διαφεύγει).
Καλημέρα Γιώργο.
Έχεις δίκιο είναι μοναδικός ο Ρόμβος.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κατασκευή ρόμβου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm

Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.

Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.

Στο 0 θέτουμε το A και στο 1 το B

Εστω z
το σημείο L
w
το σημείο N
w_{1}
το σημείοM
επίσης το 0\leq a\leq 1
είναι το σημείο K

Είναι w=a+(z-a)\sqrt{3}e^{i\frac{\pi }{6}}, z-a=(w-a)\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-i\frac{\pi }{6}
(μετασχηματισμός ομοιότητας)

Επειδή z+\bar{z}=2,w+\bar{w}=0

προκύπτει κάνοντας πράξεις ότι

w=i\sqrt{3}(2-a)
Ετσι θα είναι

z=a+\frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{\sqrt{3}}(i\sqrt{3}(2-a)-a)
Αλλά
w_{1}=a+(z-a)e^{i\frac{\pi }{3}}
(στροφή)

κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι

w_{1}=a-1+i\frac{6-4a}{2\sqrt{3}}

Από την τελευταια προκύπτει ότι το w_{1}

βόσκει πάνω στην ευθεία \sqrt{3}y+2x=1 με το -1\leq x\leq 0.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τετ Σεπ 11, 2019 8:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ρόμβου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 11, 2019 8:01 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.
Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.
Αυτό ακριβώς είναι Σταύρο, για A(0,0), B(1,0).
Δεν μπόρεσα πάντως να βρω Ευκλείδεια λύση


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κατασκευή ρόμβου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 11, 2019 8:11 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 8:01 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.
Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.
Αυτό ακριβώς είναι Σταύρο, για A(0,0), B(1,0).
Δεν μπόρεσα πάντως να βρω Ευκλείδεια λύση
Γιώργο έβαλα παραπάνω την λύση με μιγαδικούς.

Νομίζω ότι μπορεί να ''μεταφρασθεί'' σε Ευκλείδεια.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ρόμβου

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 13, 2019 5:57 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του M είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας \sqrt{3}y+2x=1 για
-1\leq x\leq 0.

Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.

Στο 0 θέτουμε το A και στο 1 το B

Εστω z
το σημείο L
w
το σημείο N
w_{1}
το σημείοM
επίσης το 0\leq a\leq 1
είναι το σημείο K

Είναι w=a+(z-a)\sqrt{3}e^{i\frac{\pi }{6}}, z-a=(w-a)\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-i\frac{\pi }{6}
(μετασχηματισμός ομοιότητας)

Επειδή z+\bar{z}=2,w+\bar{w}=0

προκύπτει κάνοντας πράξεις ότι

w=i\sqrt{3}(2-a)
Ετσι θα είναι

z=a+\frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{\sqrt{3}}(i\sqrt{3}(2-a)-a)
Αλλά
w_{1}=a+(z-a)e^{i\frac{\pi }{3}}
(στροφή)

κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι

w_{1}=a-1+i\frac{6-4a}{2\sqrt{3}}

Από την τελευταια προκύπτει ότι το w_{1}

βόσκει πάνω στην ευθεία \sqrt{3}y+2x=1 με το -1\leq x\leq 0.
Σ' ευχαριστώ Σταύρο για τη λύση :coolspeak: Δίνω το σχήμα.


Κατασκευή ρόμβου.β.png
Κατασκευή ρόμβου.β.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες