Παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6110
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 07, 2019 2:27 pm

Θεωρούμε τετράγωνο ABCD. Έστω P σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ABCD που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο AB (διαφορετικό από τα A και B). Έστω M το σημείο τομής της DP με τη διαγώνιο AC και N το σημείο τομής της CP με την AB.
Να δείξετε ότι MN \parallel BD.
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Σάβ Σεπ 07, 2019 5:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Σεπ 07, 2019 4:07 pm

Χαίρετε!
Έστω L\equiv PC\cap BD
Με Θ. Μενελάου στο τρίγωνο AOB διατέμνουσας CNP έχω : \dfrac{NA}{NB}\cdot \dfrac{LB}{LO} \cdot \dfrac{CO}{CA}=1\Leftrightarrow \dfrac{NA}{NB}\cdot \dfrac{OB}{LO}=2\Leftrightarrow \dfrac{NA}{NB}=2\cdot \dfrac{LO}{LB}(1)
Με Θ.διχοτόμου στο τρίγωνο APC έχω: \dfrac{MC}{AM}=\dfrac{PC}{PA}\Leftrightarrow \dfrac{2MO+AM}{AM}=\dfrac{CO}{OL}\Leftrightarrow 2\cdot \dfrac{MO}{AM}+1=\dfrac{LB}{LO}+1\Leftrightarrow 2\dfrac{LO}{LB}=\dfrac{LB}{LO}\overset{(1)}{\Leftrightarrow }\dfrac{AN}{NB}=..\dfrac{AM}{MO }\Rightarrow MN\parallel BD
Παραλληλία.PNG
Παραλληλία.PNG (27.97 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 07, 2019 4:55 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:27 pm
Θεωρούμε τετράγωνο ABCD. Έστω P σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ABCD που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο AB (διαφορετικό από τα A και B). Έστω M το σημείο τομής της DP με τη διαγώνιο AC και N το σημείο τομής της CP με την AB.
Να δείξετε ότι MN ∥ BD.

3. Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι αποκλειστικά γραμμένα σε LaTeX. Πολλές πληροφορίες και οδηγίες υπάρχουν στον φάκελο Οδηγίες για γραφή με TeX και βασικές οδηγίες στο Εισαγωγικές Οδηγίες για Εισαγωγή Μαθηματικού Κειμένου. Για τα νέα μέλη που δεν είναι εξοικειωμένα με το LaTeX η εκμάθηση (μπορούν να εξοικειωθούν γράφοντας μόνο στον φάκελο Δοκιμές Γραφής με Tex ) προηγείται της αποστολής μηνυμάτων. Στην προσπάθεια τους αυτή θα έχουν την βοήθεια των πιο έμπειρων μελών μας. Επισημαίνουμε ότι στο LaTeX πρέπει να γράφονται όχι μόνο οι τύποι αλλά ο οποιοσδήποτε μαθηματικός συμβολισμός (γράμματα για σημεία, σχήματα, γωνίες, συναρτήσεις, σύνολα κ.τ.λ.). Μεικτός συμβολισμός, περιγραφή των σχέσεων, χρήση κώδικα ascii ή ansii, χρήση συνημμένου εικόνας, .doc, .pdf (εξαιρούνται τα σχήματα) δεν είναι αποδεκτά.

Νομίζω ότι οι κανονισμοί είναι για όλους.
Και ειδικά το καλό παράδειγμα θα πρέπει να το δίνουν αυτοί που είναι υπεύθυνοι για την
τήρηση τους.
Και επειδή κάποιος μου την ''έπεσε'' ότι δεν είμαι αμερόληπτος υπάρχει και αυτό του φίλου μου του
Μπάμπη.
viewtopic.php?f=178&t=64837&p=313964#p313964
Και υπάρχουν και άλλα πολλά αλλά άντε να ψάχνεις


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 07, 2019 5:54 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:27 pm
Θεωρούμε τετράγωνο ABCD. Έστω P σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ABCD που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο AB (διαφορετικό από τα A και B). Έστω M το σημείο τομής της DP με τη διαγώνιο AC και N το σημείο τομής της CP με την AB.
Να δείξετε ότι MN \parallel BD.
Παραλληλία.Σ.png
Παραλληλία.Σ.png (17.3 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
\displaystyle C\widehat AB = C\widehat PD = 45^\circ , άρα το AMNP είναι εγγράψιμο και \displaystyle A\widehat MN = 90^\circ  = A\widehat OB \Rightarrow \boxed{MN||BD}


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5483
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Σεπ 08, 2019 7:03 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Σεπ 07, 2019 4:55 pm
[qu.....................................
Και επειδή κάποιος μου την ''έπεσε'' ότι δεν είμαι αμερόληπτος υπάρχει και αυτό του φίλου μου του
Μπάμπη.
viewtopic.php?f=178&t=64837&p=313964#p313964
Και υπάρχουν και άλλα πολλά αλλά άντε να ψάχνεις
Σταύρο, σε ευχαριστώ που μου το θύμησες !

Απαντάω καμιά φορά από το κινητό όταν είμαι στο χωριό που δεν έχω υπολογιστή και μετά ξεχνάω να το μετατρέψω.

Ομολογώ ότι με τις εκφωνήσεις της Γεωμετρίας, όταν έχουν ελληνικά κεφαλαία, υπάρχει μια δυσκολία στο απευθείας LATEX που γράφω και γι αυτό σε τέτοιες περιπτώσεις αφήνω τα γράμματα έξω από τον κώδικα.
Αλλιώς προτιμώ να μην γράψω τίποτα, γιατί το να μετατρέπεις το Ω σε  \Omega γράφοντας \Omega σε δολλάρια- και το ίδιο σε όλα τα γράμματα μιας άσκησης γεωμετρίας - θέλεις μία μέρα .

Για αυτό έχω και σε μερικές άλλες ασκήσεις τα Ελληνικά Κεφαλαία χωρίς κώδικα , αλλά αδυνατώ να τα βρω.

Όποιος τα βρει ας διαγράψει την άσκηση, μέχρι να το φτιάξω .

Καλή σχολική χρονιά και καλές σπουδές στο γιο σου !!!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Σεπ 08, 2019 8:17 am

Αγνοώ προσωρινά την τέμνουσα PD. Αν T το σημείο τομής των AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB ,

τότε το N είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle TAC και έστω TS το ύψος του .
Pαραλληλία _Sokrates.png
Pαραλληλία _Sokrates.png (31.59 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές
Προφανώς \boxed{TS//BD}\,\,(1). Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ASNP έχω : \widehat \omega  = \widehat \theta  = 45^\circ που

μας εξασφαλίζει ότι η PS είναι διχοτόμος στο \vartriangle PAC και άρα θα διέρχεται από το νότιο του πόλο D.

Άρα S \equiv M και λόγω της (1)\,\,\,,\,\,NM//BD.

Υπάρχουν κι άλλες λύσεις (του στοιχειώδους επιπέδου και παρεμφερείς του Γιώργου του Βισβίκη με τη «μαγεία των εγγραψίμων») και μια μετρική αλλά διαφορετική από του Πρόδρομου .

Αν δεν δοθούν θα τις ανεβάσω.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1910
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραλληλία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Σεπ 09, 2019 12:33 am

socrates έγραψε:
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:27 pm
Θεωρούμε τετράγωνο ABCD. Έστω P σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ABCD που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο AB (διαφορετικό από τα A και B). Έστω M το σημείο τομής της DP με τη διαγώνιο AC και N το σημείο τομής της CP με την AB.
Να δείξετε ότι MN \parallel BD.


Η ισότητα των πράσινων γωνιών είναι προφανής. Άρα N είναι έκκεντρο του τριγώνου MBP

Έτσι,  MN \bot MC \Rightarrow MN//DB
Παραλληλία.png
Παραλληλία.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες