Η μεγαλύτερη γωνία

#1

: Μεγαλύτερη γωνία.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB\,$ με κέντρο

. Σημείο

κινείται στο ημικύκλιο κι έστω

το συμμετρικό του ως προς το

.

Να βρεθεί η θέση του

πάνω στο ημικύκλιο για την οποία η γωνία $\widehat \theta = \widehat {COB}$ είναι η μεγαλύτερη δυνατή

Altrian · #2

Νίκο καλησπέρα,

Παίρνουμε το συμμετρικό του

ως προς το

έστω

. Το

είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες διχοτομούνται, άρα $\angle SFO=\theta$ . Το μέγιστο αυτής επιτυγχάνεται όταν η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου. Τότε προφανώς $\angle \theta=30\Rightarrow \angle SOB=60$

#3

Altrian έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 16, 2019 7:30 pm
Νίκο καλησπέρα,

Παίρνουμε το συμμετρικό του ως προς το έστω . Το είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες διχοτομούνται, άρα $\angle SFO=\theta$ . Το μέγιστο αυτής επιτυγχάνεται όταν η είναι εφαπτόμενη του κύκλου. Τότε προφανώς $\angle \theta=30\Rightarrow \angle SOB=60$

#4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 16, 2019 6:35 pm
Μεγαλύτερη γωνία.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB\,$ με κέντρο . Σημείο κινείται στο ημικύκλιο κι έστω το συμμετρικό του ως προς το .

Να βρεθεί η θέση του πάνω στο ημικύκλιο για την οποία η γωνία $\widehat \theta = \widehat {COB}$ είναι η μεγαλύτερη δυνατή

Έστω

το μέσο του

και

η προβολή του

στη

. Επειδή η συνάρτηση

$y(\theta ) = \sin \theta$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ , άρα αντιστρέφεται με την αντίστροφή της να είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( {0,1} \right)$ ,

αρκεί να μεγιστοποιηθεί το $\sin \theta$

Θέτω την ακτίνα του ημικυκλίου $R = 2a \Rightarrow BM = a$ και είναι :

: Η μεγαλύτερη γωνία_λύση.png (20.65 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

$\sin \theta = \dfrac{{BK}}{{OB}} = \dfrac{{BK}}{{2a}} \leqslant \dfrac{{BM}}{{2a}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}$ . Δηλαδή η μεγαλύτερη τιμή του $\sin \theta$ είναι $\dfrac{1}{2}$

και συνεπώς η μεγαλύτερη τιμή της γωνίας $\theta$ είναι $30^\circ$ .

Τότε $BK \equiv BM = a$ και άρα $OS \bot OT$ και το $S \equiv {S_0}$ , όπου ${S_0}$ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου στο

, με το ημικύκλιο

Παρατήρηση : εκ παραδρομής στο σχήμα και κατ ακολουθία στη λύση αντί .του γράμματος έχει τεθεί .

Η μεγαλύτερη γωνία

Η μεγαλύτερη γωνία

Re: Η μεγαλύτερη γωνία

Re: Η μεγαλύτερη γωνία

Re: Η μεγαλύτερη γωνία

Μέλη σε σύνδεση