Η μεγαλύτερη γωνία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Η μεγαλύτερη γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 16, 2019 6:35 pm

Μεγαλύτερη γωνία.png
Μεγαλύτερη γωνία.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB\, με κέντρο O. Σημείο S κινείται στο ημικύκλιο κι έστω C το συμμετρικό του ως προς το B.

Να βρεθεί η θέση του S πάνω στο ημικύκλιο για την οποία η γωνία \widehat \theta  = \widehat {COB} είναι η μεγαλύτερη δυνατή



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Η μεγαλύτερη γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Αύγ 16, 2019 7:30 pm

Νίκο καλησπέρα,

Παίρνουμε το συμμετρικό του O ως προς το B έστω F. Το SOCF είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες διχοτομούνται, άρα \angle SFO=\theta. Το μέγιστο αυτής επιτυγχάνεται όταν η FS είναι εφαπτόμενη του κύκλου. Τότε προφανώς \angle \theta=30\Rightarrow \angle SOB=60
Συνημμένα
μεγιστη γωνια.png
μεγιστη γωνια.png (34.35 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η μεγαλύτερη γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 16, 2019 9:18 pm

Altrian έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 7:30 pm
Νίκο καλησπέρα,

Παίρνουμε το συμμετρικό του O ως προς το B έστω F. Το SOCF είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες διχοτομούνται, άρα \angle SFO=\theta. Το μέγιστο αυτής επιτυγχάνεται όταν η FS είναι εφαπτόμενη του κύκλου. Τότε προφανώς \angle \theta=30\Rightarrow \angle SOB=60
:coolspeak:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η μεγαλύτερη γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 17, 2019 1:22 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 16, 2019 6:35 pm
Μεγαλύτερη γωνία.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB\, με κέντρο O. Σημείο S κινείται στο ημικύκλιο κι έστω C το συμμετρικό του ως προς το B.

Να βρεθεί η θέση του S πάνω στο ημικύκλιο για την οποία η γωνία \widehat \theta  = \widehat {COB} είναι η μεγαλύτερη δυνατή
Έστω M το μέσο του OT και K η προβολή του B στη OT . Επειδή η συνάρτηση

y(\theta ) = \sin \theta είναι γνησίως αύξουσα στο \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right), άρα αντιστρέφεται με την αντίστροφή της να είναι γνησίως αύξουσα στο \left( {0,1} \right),

αρκεί να μεγιστοποιηθεί το \sin \theta

Θέτω την ακτίνα του ημικυκλίου R = 2a \Rightarrow BM = a και είναι :
Η μεγαλύτερη γωνία_λύση.png
Η μεγαλύτερη γωνία_λύση.png (20.65 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
\sin \theta  = \dfrac{{BK}}{{OB}} = \dfrac{{BK}}{{2a}} \leqslant \dfrac{{BM}}{{2a}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2} . Δηλαδή η μεγαλύτερη τιμή του \sin \theta είναι \dfrac{1}{2}

και συνεπώς η μεγαλύτερη τιμή της γωνίας \theta είναι 30^\circ .

Τότε BK \equiv BM = a και άρα OS \bot OT και το S \equiv {S_0} , όπου {S_0} το σημείο τομής της μεσοκαθέτου στο OB , με το ημικύκλιο


Παρατήρηση : εκ παραδρομής στο σχήμα και κατ ακολουθία στη λύση αντί .του γράμματος C έχει τεθεί T.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες