Συνευθειακά

angvl · #1

Καλημέρα!

Άλλη μία του κ. Γακόπουλου για όποιον θέλει να ασχοληθεί!

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με μήκη πλεύρων a,b,c

,

το βαρύκεντρο ,

το έγκεντρο και

το σημείο Lemoine αυτού.

Οι σεβιανές $\displaystyle BLe , CLe$ τέμνουν τις πλευρές AC,AB

στα σημεία

,

αντίστοιχα.

Οι διχοτόμοι $\displaystyle BI ,CI$ τέμνουν τις πλευρές AC, AB

στα σημεία F,E

αντίστοιχα.

Οι ευθείες $\displaystyle CE, QG$ τέμνονται στο σημείο

.

Οι ευθείες $\displaystyle BF, GR$ τέμνονται στο σημείο

.

Οι ευθείες $\displaystyle QF, ER$ τέμνονται στο σημείο

.

Αν

$\displaystyle a = \frac{bc}{b+c}$

να αποδειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle K,L,M$ είναι συνευθειακά.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

angvl έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 11:00 am
Καλημέρα!

Άλλη μία του κ. Γακόπουλου για όποιον θέλει να ασχοληθεί!

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με μήκη πλεύρων , το βαρύκεντρο , το έγκεντρο και το σημείο Lemoine αυτού.

Οι σεβιανές $\displaystyle BLe , CLe$ τέμνουν τις πλευρές στα σημεία , αντίστοιχα.

Οι διχοτόμοι $\displaystyle BI ,CI$ τέμνουν τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.

Οι ευθείες $\displaystyle CE, QG$ τέμνονται στο σημείο .

Οι ευθείες $\displaystyle BF, GR$ τέμνονται στο σημείο .

Οι ευθείες $\displaystyle QF, ER$ τέμνονται στο σημείο .

Αν

$\displaystyle a = \frac{bc}{b+c}$

να αποδειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle K,L,M$ είναι συνευθειακά.

Καλημέρα!

Θα δείξω ότι συνευθειακά:
Από το αντίστροφο του θεωρήματος Μενελάου στο με διατέμνουσα την αρκεί να ισχύει ότι $\dfrac{QB}{QA}\cdot \dfrac{RA}{RF}\cdot \dfrac{IF}{IB}=1$
Από γνωστή ιδιότητα συμμετροδιάμεσου έχω $\dfrac{QB}{QA}=\dfrac{a^2}{b^2}$ ,επίσης $RA=\dfrac{c^2b}{a^2+c^2},AF=\dfrac{bc}{a+c}$
και από το θεώρημα διχοτόμων στο είναι $\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{\dfrac{ab}{a+c}}{a}$

Έτσι αρκεί $\dfrac{a^2}{b^2}\cdot \dfrac{\dfrac{c^2b}{a^2+c^2}}{\dfrac{c^2b}{a^2+c^2}-\dfrac{bc}{a+c}}\cdot \dfrac{b}{a+c}=1\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow a=\dfrac{bc}{b+c}$ που ισχύει