Συμμετρία με ευθεία Euler

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8406
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Συμμετρία με ευθεία Euler

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 03, 2019 8:14 pm

Συμμετρία με ευθεία Euler.png
Συμμετρία με ευθεία Euler.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές
AK είναι το ύψος, H το ορθόκεντρο, O το περίκεντρο και M, N τα μέσα των πλευρών AB, AC αντίστοιχα,

οξυγώνιου τριγώνου ABC. Υποθέτουμε ότι το τρίγωνο KOH είναι οξυγώνιο και P είναι το πρίκεντρό του. Αν

Q είναι το συμμετρικό του P ως προς την ευθεία OH, να δείξετε ότι το Q είναι σημείο της MN.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 797
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συμμετρία με ευθεία Euler

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Αύγ 03, 2019 10:09 pm

Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο με κέντρο Q και ακτίνα QH=QO και έστω πως τέμνει την AK στο L.

Αυτός ο κύκλος είναι ίσος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου OKH (ίσες ακτίνες), οπότε έχουμε \widehat{OLH}=\widehat{OKH}, δηλαδή το τρίγωνο KOL είναι ισοσκελές, δηλαδή OK=OL.

Έστω πως η AK τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC στο S. Προφανώς είναι και OS=OA, οπότε εύκολα προκύπτει ότι KS=LA.

Όμως είναι γνωστό ότι KS=KH, άρα τελικά LA=KH, άρα αφού η MN είναι μεσοκάθετος του AK, είναι και του HL.

Στη μεσοκάθετο του HL ανήκει όμως το Q ως περίκεντρο του OHL, οπότε το Q ανήκει στην MN.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες