Συνευθειακά και ομοκυκλικά

[KARKAR]

Συνευθειακά και ομοκυκλικά.png (19.07 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Πάνω στη διάμετρο , κύκλου , θεωρούμε σημεία , ώστε : .

Από τυχαίο σημείο της προέκτασης της φέραμε την εφαπτομένη και ονομάσαμε

το αντιδιαμετρικό του . Οι ημιευθείες τέμνουν τον κύκλο και την στα σημεία

και αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά , ενώ τα ομοκυκλικά .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο , κύκλου , θεωρούμε σημεία , ώστε : .

Από τυχαίο σημείο της προέκτασης της φέραμε την εφαπτομένη και ονομάσαμε

το αντιδιαμετρικό του . Οι ημιευθείες τέμνουν τον κύκλο και την στα σημεία

και αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά , ενώ τα ομοκυκλικά .

1.png (32.15 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

Ας ξεκινήσουμε από το β) ερώτημα που είναι ευκολότερο και θα το χρησιμοποιήσουμε και για το α)

Είναι ομοκυκλικά

α) Προφανώς παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται από κατασκευής) και συνεπώς

ομοκυκλικά (αντίστροφο του θεωρήματος των τεμνομένων χορδών)

Έτσι ως ριζικοί άξονες των ανά δύο τεμνομένων κύκλων διέρχονται από το ίδιο σημείο (το ριζικό τους κέντρο) και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

[min##]

Για το α):Έστω ότι η τέμνει την στο .Αν φέρω την εφαπτομένη στο ,θα τέμνει την σε σημείο ώστε .(λόγω συμμετρίας).Από Desargues Involution στο εκφυλισμένο με διατέμνουσα την ,θα ισχύει πως τα είναι συζυγή σε ενέλιξη.Αφού μια ενέλιξη καθορίζεται από 2 ζεύγη σημείων και τα είναι συζυγή στην (προφανή) ενέλιξη/συμμετρία ως προς ,θα είναι και τα συμμετρικά κτλ.
Σημείωση:Νομίζω έχουμε ξαναδεί κάποια παραλλαγή του

[Xriiiiistos]

Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο , κύκλου , θεωρούμε σημεία , ώστε : .

Από τυχαίο σημείο της προέκτασης της φέραμε την εφαπτομένη και ονομάσαμε

το αντιδιαμετρικό του . Οι ημιευθείες τέμνουν τον κύκλο και την στα σημεία

και αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά , ενώ τα ομοκυκλικά .

min## το α είναι πολύ γνωστή άσκηση τουλάχιστον στην Ελλάδα. Υπάρχουν λύσεις στα βιβλία Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2,4 και στο μαθηματικοί διαγωνισμοί 2 αλλά έχει βρεθεί και εδώ στο με κάποσες λύσεις αν έχει κάποιος το λινκ μπορεί να το βάλει.

Άλλη μια λύση για το α) που δεν υπάρχει στα βιβλία που προανέφερα (από όσο θυμάμαι τουλάχιστον).
Έστω σημείο του κύκλου ώστε . Έστω ότι οι εφαπτομένες στα τέμνονται στο . Έχουμε ότι Η δέσμη είναι αρμονική (αφού μέσο και λόγο της παραλληλία που φέραμε) Άρα η δέσμη είναι αρμονική δηλαδή το είναι το αρμονικό τετράπλευρο που εξασφαλίζει ότι συνευθειακά. Αφού διάμετρος και λόγο της παραλληλίας έχουμε όπου X η τομή των . Eπείσης
To ανήκει στην πολική του άρα το ανήκει στην πολική του S. Αυτό σε σχέση με το δείνει ότι η ευθεία είναι η πολική του άρα εφαπτόμενη του κύκλου και τελειώσαμε.

Το β) είναι άμεσο από αντιστροφή πόλου δύναμης