Συνευθειακά και ομοκυκλικά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συνευθειακά και ομοκυκλικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 26, 2019 12:06 pm

Συνευθειακά  και ομοκυκλικά.png
Συνευθειακά και ομοκυκλικά.png (19.07 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές
Πάνω στη διάμετρο AB , κύκλου (O,r) , θεωρούμε σημεία P,Q , ώστε : AP=QB<r .

Από τυχαίο σημείο S της προέκτασης της AB φέραμε την εφαπτομένη ST και ονομάσαμε T'

το αντιδιαμετρικό του T . Οι ημιευθείες TP,TQ τέμνουν τον κύκλο και την TS στα σημεία K,N

και L,M αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα K,L,S είναι συνευθειακά , ενώ τα K,L,M,N ομοκυκλικά .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συνευθειακά και ομοκυκλικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιούλ 26, 2019 11:26 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 12:06 pm
Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο AB , κύκλου (O,r) , θεωρούμε σημεία P,Q , ώστε : AP=QB<r .

Από τυχαίο σημείο S της προέκτασης της AB φέραμε την εφαπτομένη ST και ονομάσαμε T'

το αντιδιαμετρικό του T . Οι ημιευθείες TP,TQ τέμνουν τον κύκλο και την TS στα σημεία K,N

και L,M αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα K,L,S είναι συνευθειακά , ενώ τα K,L,M,N ομοκυκλικά .
1.png
1.png (32.15 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές
Ας ξεκινήσουμε από το β) ερώτημα που είναι ευκολότερο και θα το χρησιμοποιήσουμε και για το α)

Είναι \angle {T}'LK\overset{T',L,T,K\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle {T}'TK\overset{\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon }{\mathop{=}}\,\angle TNK\Rightarrow K,L,M,N ομοκυκλικά

α) Προφανώς {T}'PTQ παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται από κατασκευής) και συνεπώς

\dfrac{ST}{SN}\overset{TQ\parallel PN}{\mathop{=}}\,\dfrac{SQ}{SP}\overset{QM\parallel PT}{\mathop{=}}\,\dfrac{SM}{ST}\Rightarrow S{{T}^{2}}=SM\cdot SN\overset{S{{T}^{2}}=SB\cdot SA\left( \varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \,\,-\tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \,\,\tau o\upsilon \,\left( O \right) \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\, SB\cdot SA=SM\cdot SN\Rightarrow A,B,M,N ομοκυκλικά (αντίστροφο του θεωρήματος των τεμνομένων χορδών)

Έτσι AB,KL,NM ως ριζικοί άξονες των ανά δύο τεμνομένων κύκλων διέρχονται από το ίδιο σημείο S\equiv AB\cap MN(το ριζικό τους κέντρο) και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συνευθειακά και ομοκυκλικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Ιούλ 26, 2019 11:43 pm

Για το α):Έστω ότι η KL τέμνει την AB στο S*.Αν φέρω την εφαπτομένη στο T',θα τέμνει την AB σε σημείο S' ώστε OS=OS'.(λόγω συμμετρίας).Από Desargues Involution στο εκφυλισμένο T'T'KL με διατέμνουσα την AB,θα ισχύει πως τα (A,B),(P,Q),(S,S*) είναι συζυγή σε ενέλιξη.Αφού μια ενέλιξη καθορίζεται από 2 ζεύγη σημείων και τα (A,B),(P,Q) είναι συζυγή στην (προφανή) ενέλιξη/συμμετρία ως προς O,θα είναι και τα S,S* συμμετρικά κτλ.
Σημείωση:Νομίζω έχουμε ξαναδεί κάποια παραλλαγή του


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 218
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Συνευθειακά και ομοκυκλικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιούλ 27, 2019 12:40 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 12:06 pm
Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο AB , κύκλου (O,r) , θεωρούμε σημεία P,Q , ώστε : AP=QB<r .

Από τυχαίο σημείο S της προέκτασης της AB φέραμε την εφαπτομένη ST και ονομάσαμε T'

το αντιδιαμετρικό του T . Οι ημιευθείες TP,TQ τέμνουν τον κύκλο και την TS στα σημεία K,N

και L,M αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα K,L,S είναι συνευθειακά , ενώ τα K,L,M,N ομοκυκλικά .
min## το α είναι πολύ γνωστή άσκηση τουλάχιστον στην Ελλάδα. Υπάρχουν λύσεις στα βιβλία Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2,4 και στο μαθηματικοί διαγωνισμοί 2 αλλά έχει βρεθεί και εδώ στο :logo: με κάποσες λύσεις αν έχει κάποιος το λινκ μπορεί να το βάλει.

Άλλη μια λύση για το α) που δεν υπάρχει στα βιβλία που προανέφερα (από όσο θυμάμαι τουλάχιστον).
Έστω C σημείο του κύκλου ώστε C{T}'//PG. Έστω ότι οι εφαπτομένες στα K,L τέμνονται στο D. Έχουμε ότι Η δέσμη T(P,G/O,C) είναι αρμονική (αφού O μέσο PG και λόγο της παραλληλία που φέραμε) Άρα η δέσμη T(K,L/T,C) είναι αρμονική δηλαδή το KTLC είναι το αρμονικό τετράπλευρο που εξασφαλίζει ότι D,T,S συνευθειακά. Αφού T{}'T διάμετρος και λόγο της παραλληλίας έχουμε \widehat{T{CT}'}=\widehat{OXC}=90^{\circ} (i) όπου X η τομή των CT,PG. Eπείσης PG\cap KL\equiv S
To S ανήκει στην πολική του D άρα το D ανήκει στην πολική του S. Αυτό σε σχέση με το (i) δείνει ότι η ευθεία CD είναι η πολική του S άρα TS εφαπτόμενη του κύκλου και τελειώσαμε.

Το β) είναι άμεσο από αντιστροφή πόλου T{}' δύναμης T{T}'


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης