Αποτέλεσμα έκπληξη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9570
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αποτέλεσμα έκπληξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 23, 2019 6:18 pm

Αποτέλεσμα έκπληξη..png
Αποτέλεσμα έκπληξη..png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
D είναι το μέσο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC και E είναι το μέσο της AC.

Θεωρούμε σημείο F της πλευράς AB, τέτοιο ώστε αν η CF τέμνει την BE στο P, τα σημεία B, F, P, D να είναι

ομοκυκλικά. Αν η AD τέμνει την CF στο H και AP=\sqrt 5+2, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος HP.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αποτέλεσμα έκπληξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιούλ 23, 2019 8:41 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιούλ 23, 2019 6:18 pm
Αποτέλεσμα έκπληξη..png
D είναι το μέσο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC και E είναι το μέσο της AC.

Θεωρούμε σημείο F της πλευράς AB, τέτοιο ώστε αν η CF τέμνει την BE στο P, τα σημεία B, F, P, D να είναι

ομοκυκλικά. Αν η AD τέμνει την CF στο H και AP=\sqrt 5+2, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος HP.
Καλησπέρα!

Από το εγγράψιμο BFPD έχουμε \angle DPC=\angle DBF=45^{\circ}=\angle DAC άρα APDC εγγράψιμο κι έτσι AP\perp FC
Έστω FA=x,AC=a
Από το θεώρημα Μενελάου στο AFC με διατέμνουσα \overline{BPE} είναι \dfrac{PC}{PF}\cdot \dfrac{BF}{AB}=1\Leftrightarrow a^2-ax-x^2=0\Leftrightarrow \dfrac{a}{x}=\phi

Είναι
\dfrac{PH}{PA}=\dfrac{HD}{DC}=\tan\widehat{HCD}=\tan\left ( 45-\widehat{ACF} \right )=\dfrac{1-\dfrac{1}{\phi }}{1+\dfrac{1}{\phi }}=\sqrt{5}-2\Leftrightarrow PH=\left ( \sqrt{5}+2 \right )\left ( \sqrt{5}-2 \right )

Άρα \boxed{PH=1}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7335
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αποτέλεσμα έκπληξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 25, 2019 2:43 pm

Έκπληξη το αποτέλεσμα.png
Έκπληξη το αποτέλεσμα.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
Επειδή A{C^2} = CD \cdot CB = CP \cdot CF \Rightarrow AP \bot CF.
Έστω \tan a = k . Είναι \tan c = \dfrac{1}{2} και αφού b = a + c \Rightarrow \tan b = \dfrac{{\tan a + \tan c}}{{1 - \tan a \cdot \tan c}} = \dfrac{{k + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{k}{2}}} = \dfrac{{2k + 1}}{{2 - k}} . Αλλά a + b = 90^\circ  \Rightarrow 1 - \tan a \cdot \tan b = 0 \Rightarrow {k^2} + k - 1 = 0 και άρα \boxed{\tan a = \dfrac{1}{\varphi }\,\,\,}\,,\,\,\,\varphi  = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}

Θέτω PH = x ενώ δόθηκε AP = y = 2 + \sqrt 5  = 2\varphi  + 1 κι αφού:

x = y\tan \theta  = (2\varphi  + 1)tan(45^\circ  - a) έχω: x = (2\varphi  + 1)\dfrac{{1 - \dfrac{1}{\varphi }}}{{1 + \dfrac{1}{\varphi }}} = \dfrac{{(2\varphi  + 1)(\varphi  - 1)}}{{\varphi  + 1}} = \dfrac{{2{\varphi ^2} - (\varphi  + 1)}}{{\varphi  + 1}} = \dfrac{{2{\varphi ^2} - {\varphi ^2}}}{{{\varphi ^2}}} = 1

Η λύση αφιερώνεται στους νεαρούς αδελφούς Φωτιάδη

και εν γένει σε όλα τα νέα παιδιά( που σε πείσμα των δύσκολων καιρών ) διψούν και μοχθούν για γνώση, διάκριση και γιατί όχι σε αριστεία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης