Κόκκινη επιφάνεια

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κόκκινη επιφάνεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 14, 2019 10:01 am

Κόκκινη επιφάνεια.png
Κόκκινη επιφάνεια.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές
Το ABCD είναι τετράγωνο πλευράς a και τα CDPQ, MNST είναι ίσα ορθογώνια.

α) Να κατασκευάσετε το σχήμα.................. β) Να βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης επιφάνειας συναρτήσει του a.



Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Κόκκινη επιφάνεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Ιούλ 15, 2019 8:43 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 14, 2019 10:01 am

Το ABCD είναι τετράγωνο πλευράς a και τα CDPQ, MNST είναι ίσα ορθογώνια.

α) Να κατασκευάσετε το σχήμα.................. β) Να βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης επιφάνειας συναρτήσει του a.
Καλημέρα....

α) Έστω ότι το ζητούμενο σχήμα έχει κατασκευαστεί και είναι το ακόλουθο:
Κόκκινη επιφάνεια 1.png
Κόκκινη επιφάνεια 1.png (14.15 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
Έστω ακόμα ότι η πλευρά του ζητούμενου ορθογωνίου είναι: \displaystyle{DP=b \  \ (1)}
Τότε θα είναι:

\displaystyle{PS+SA=a-b}
και
\displaystyle{PN+NQ=a}

άρα:

\displaystyle{asin\phi +bcos\phi=a-b \  \ (2)}
\displaystyle{bsin\phi+acos\phi=a \  \ (3)}

Οι εξισώσεις (2) και (3) είναι ένα σύστημα γραμμικό ως προς τα \displaystyle{sin\phi, \  \ cos\phi } και εύκολα λύνεται.
Άρα:
\displaystyle{sin\phi=\frac{a^2-2ab}{a^2-b^2} \  \ (4)}

\displaystyle{cos\phi=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2-b^2} \  \ (5)}

Από τις σχέσεις (4) και (5) και από τη θεμελιώδη τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτει μετά από πράξεις:

\displaystyle{2b^3-9ab^2+6a^2b-a^3=0 \  \ (6)}

Η τελευταία γράφεται με κάποια προσπάθεια ακόμα και ως εξής:

\displaystyle{(2b-a)(a^2-4ab+b^2)=0 \  \ (7)}

Η εξίσωση (7) έχει ως λύσεις με άγνωστο το \displaystyle{b} τις ακόλουθες:

\displaystyle{b_1=\frac{a}{2}, \  \ b_2=(2-\sqrt{3})a, \ \ b_2=(2+\sqrt{3})a  \  \  (8) }

Από τις τρεις αυτές λύσεις μελετούμε τη δεύτερη, δηλαδή:

\displaystyle{b=(2-\sqrt{3})a \  \ (9)}

Η τιμή αυτή της (9) με την εξίσωση (3) δίνει την τριγωνομετρική εξίσωση:

\displaystyle{(2-\sqrt{3})sin\phi +cos\phi =1 \  \ (10)}

Η εξίσωση (10) λύνεται με το γνωστό τρόπο και δίνει ως αρχική λύση την

\displaystyle{\phi =30^o \  \ (11) }

Από την τιμή της γωνίας και από την τιμή του \displaystyle{b=(2-\sqrt{3})a} εύκολα
κατασκευάζεται το ζητούμενο σχήμα καθώς και τα ζητούμενα εμβαδά.

Με τις τιμές αυτές κατασκευάστηκε και το σχήμα που αναρτώ.

Παρατήρηση:
Ενδιαφέρον θα ήταν να μελετήσει κανείς τι συμβαίνει γενικότερα και με τις
άλλες δύο λύσεις της αναφοράς (8)


Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κόκκινη επιφάνεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 15, 2019 9:59 am

Καλημέρα σε όλους!

Σ' ευχαριστώ Κώστα για την εμπεριστατωμένη λύση! Να παρατηρήσω εδώ ότι οι άλλες δύο λύσεις της σχέσης (8), δηλαδή

b=(2+\sqrt 3)a ή b=\dfrac{a}{2} απορρίπτονται. Η πρώτη γιατί δίνει b>a που είναι άτοπο αφού \displaystyle b < a, και η δεύτερη γιατί

στην ουσία ζητείται να εγγράψουμε σε ένα ορθογώνιο ένα άλλο ορθογώνιο ίσο με το αρχικό, που είναι αδύνατο.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Κόκκινη επιφάνεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Ιούλ 15, 2019 10:39 am

Καλημέρα,

Βασίζομαι στο σχήμα του Κώστα και έχω:
a=DA=b+bcos\phi+asin\phi\Rightarrow b=\dfrac{a(1-sin\phi)}{1+cos\phi}
a=PQ=bsin\phi+acos\phi\Rightarrow b=\dfrac{a(1-cos\phi)}{sin\phi}

Από την ισότητα των δεύτερων μελών παίρνω: (1-sin\phi)sin\phi=(1-cos\phi)(1+cos\phi)=sin^{2}\phi\Rightarrow sin\phi=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi=30.

Αρα b=a(2-\sqrt{3})

Οπότε για την κατασκευή S μέσο της AD κλπ.

Για το κόκκινο εμβαδό K=a^{2}-2ab=a^{2}-2a^{2}(2-\sqrt{3})=a^{2}(2\sqrt{3}-3)


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κόκκινη επιφάνεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 15, 2019 4:05 pm

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την όμορφη λύση του που δίνει απευθείας \boxed{\phi=30^\circ}

Να προσθέσω ακόμα στη λύση του Κώστα ότι επειδή a>b και \displaystyle\cos \phi  < 1, από τη σχέση (5)

προκύπτει ότι \boxed{b<\frac{a}{2}} γεγονός που δίνει τη μοναδική ρίζα \boxed{b=a(2-\sqrt 3)} της εξίσωσης (7).


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Κόκκινη επιφάνεια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Ιούλ 16, 2019 9:09 am

Γιώργο και Αλέξανδρε καλημέρα...

Θα ήθελα να συνεχίσω λίγο την κουβέντα, αφού με την υπαινιγμό που έκανα στην
αρχική μου ανάρτηση για κάποια "γενίκευση" είδα τις σκέψεις του Γιώργου
υ.

Ναι, έτσι είναι Γιώργο, όπως τα έγραψες. Εγώ απλά θα ήθελα να συμπληρώσω
αρχικά σκεπτόμενος το εξής σχήμα:
Κόκκινη επιφάνεια 4.png
Κόκκινη επιφάνεια 4.png (42.97 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Το σχήμα αυτό περιλαμβάνει ένα τρίγωνο \displaystyle{ABC} κι ένα άλλο το \displaystyle{P_oQ_oR_o} του οποίου οι κορυφές
\displaystyle{P_o, Q_o, R_o} ανήκουν στους φορείς των πλευρών του αρχικού τριγώνου \displaystyle{ABC} και όχι μόνο στις
πλευρές αυτού.
Θα μπορούσαμε και σ' αυτή την περίπτωση να πούμε ότι το \displaystyle{P_oQ_oR_o} είναι "εγγεγραμμένο" στο τρίγωνο \displaystyle{ABC}
και στις δυο περιπτώσεις;

Αν δεχθούμε μια τέτοια ιδέα, τότε για τις άλλες δύο λύσεις της αναφοράς (8) του αρχικού μου μηνύματος μπορούμε
να τις δεχθούμε ότι λειτουργούν.
Δηλαδή:
1ο) Η λύση \displaystyle{b=\frac{a}{2}} υλοποιείται στο σχήμα:
Κόκκινη επιφάνεια 2.png
Κόκκινη επιφάνεια 2.png (6.44 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Στο σχήμα αυτό το ζητούμενο ορθογώνιο \displaystyle{MNST} ταυτίζεται με το \displaystyle{ABPQ}, όπως δείχνουν και οι ετικέτες των
κορυφών αυτού. (όπως αναφέρει και ο Γιώργος)

2ο) Η λύση \displaystyle{b=(2+\sqrt{3})a} υλοποιείται στο ακόλουθο σχήμα:
Κόκκινη επιφάνεια 3.png
Κόκκινη επιφάνεια 3.png (20.3 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε:
Στο σχήμα (Α) και σύμφωνα με την ανωτέρω τιμή του \displaystyle{b} βλέπουμε το ορθογώνιο \displaystyle{CDPQ} το οποίο θέλουμε να
"εγγράψουμε" στο "υπόλοιπο" ορθογώνιο που απομένει από το αρχικό \displaystyle{ABCD}.
Το "υπόλοιπο" αυτό είναι το αλγεβρικό υπόλοιπο, δηλαδή το \displaystyle{ABQP} που φαίνεται στο σχήμα (Β).
Έτσι, σύμφωνα με την αντίληψη που διατυπώθηκε αρχικά για τη γενικευμένη έννοια της εγγραψιμότητας το
ορθογώνιο \displaystyle{CDPQ} "εγγράφεται ως \displaystyle{MNST} στο \displaystyle{ABQP}, όπως δείχνει το σχήμα (Γ).
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε ότι οι δύο κορυφές \displaystyle{S,T} βρίσκονται στις προεκτάσεις των \displaystyle{AP, QB} αντίστοιχα.

Έτσι με τη "γενίκευση" αυτή υλοποιούνται και οι τρεις λύσεις της αναφοράς (8) του αρχικού μου μηνύματος.

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες