Οι εγγραφές συνεχίζονται ...

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Οι εγγραφές συνεχίζονται ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 12, 2019 8:42 am

Μέγιστο εμβαδόν  εγγεγραμμένου.png
Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου.png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές
Σε κύκλο ακτίνας R εγγράψτε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AC=2AB ,

το οποίο να έχει το μέγιστο εμβαδόν .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οι εγγραφές συνεχίζονται ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 12, 2019 5:23 pm

Έσβησα την λύση. Θα επανέλθω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Οι εγγραφές συνεχίζονται ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 12, 2019 11:17 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 8:42 am
Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου.pngΣε κύκλο ακτίνας R εγγράψτε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AC=2AB ,

το οποίο να έχει το μέγιστο εμβαδόν .
Έστω BC=x. Είναι, \displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}xc\sin B = \frac{1}{2}xc\frac{c}{R} = \frac{{x{c^2}}}{{2R}} και με νόμο συνημιτόνων:
Οι εγγραφές.png
Οι εγγραφές.png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
\displaystyle 4{c^2} = {c^2} + {x^2} - 2xc\cos B \Leftrightarrow 3{c^2} = {x^2} - 2xc\frac{{\sqrt {{R^2} - {c^2}} }}{R} \Leftrightarrow (9{R^2} + 4{x^2}){c^4} - 10{R^2}{x^2}{c^2} + {R^2}{x^4} = 0,

απ' όπου παίρνουμε \displaystyle {c^2} = \frac{{R{x^2}(5R \pm 2\sqrt {4{R^2} - {x^2}} )}}{{9{R^2} + 4{x^2}}} και \boxed{(ABC) =f(x)= \frac{{{x^3}(5R + 2\sqrt {4{R^2} - {x^2}} )}}{{2(9{R^2} + 4{x^2})}}} (*)

Με παραγώγους βρίσκω για \displaystyle x = \frac{R}{4}\sqrt {\frac{{15\sqrt {97}  - 33}}{2}} μέγιστη τιμή \displaystyle {(ABC)_{\max }} = \frac{{3{R^2}}}{{64}}\sqrt {\frac{3}{2}\left( {485\sqrt {97}  - 4523} \right)}


(*) Η τιμή με το "πλην" απορρίπτεται γιατί δίνει για x=2R μέγιστο εμβαδόν \dfrac{4R^2}{5} που είναι μικρότερο από το παραπάνω.

Κατασκευή: Στον κύκλο ακτίνας R παίρνω χορδή BC ίση με την παραπάνω τιμή του x.
Οι εγγραφές.β.png
Οι εγγραφές.β.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές
Στη συνέχεια γράφω τον Απολλώνιο κύκλο του οποίου τα σημεία έχουν λόγο αποστάσεων από τα B, C ίσο με 1:2.

Ο κύκλος αυτός τέμνει το μεγάλο τόξο \overset\frown{BC} του αρχικού κύκλου στο A. Το ABC είναι το ζητούμενο τρίγωνο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες