Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

#1

: Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών.png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Το

είναι σημείο της πλευράς AB=a

τετραγώνου ABCD,

τέτοιο ώστε $AP=\dfrac{a}{3}$ και

είναι

το σημείο τομής των PC, BD.

Να εντοπίσετε σημείο

του τμήματος

ώστε, αν η

τέμνει τη

στο

το

να είναι εγγράψιμο. Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}}.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 09, 2019 7:10 pm
Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών.pngΤο είναι σημείο της πλευράς τετραγώνου τέτοιο ώστε $AP=\dfrac{a}{3}$ και είναι

το σημείο τομής των Να εντοπίσετε σημείο του τμήματος ώστε, αν η τέμνει τη

στο το να είναι εγγράψιμο. Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}}.$

Καλησπέρα!
Είναι $\tan\widehat{DQC}=-\tan(\widehat{QDC}+\widehat{QCD})=\dfrac{1+\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-1}=5$

Για να είναι εγγράψιμο το $\displaystyle{PSTQ}$ αρκεί $\widehat{CSB}=\widehat{DQC}$ άρα $\tan\widehat{CSB}=5\Leftrightarrow BS=\dfrac{a}{5}$
Έχουμε $\dfrac{PB}{a}=\dfrac{BQ}{DQ}\Leftrightarrow DQ=\dfrac{3}{5}a\sqrt{2}$ άρα $\left ( QDC \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot \dfrac{3}{5}a\sqrt{2}=\dfrac{3a^2}{10}$ .
Επίσης $\dfrac{BT}{DT}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow BT=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$

$\left ( STQP \right )=\left ( PBQ \right )-\left ( SBT \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left ( \dfrac{2}{3}a\cdot \dfrac{2}{5}a\sqrt{2} -\dfrac{a\sqrt{2}}{6}\cdot \dfrac{a}{5}\right )=\dfrac{7a^2}{60}$

$\dfrac{\left ( PSTQ \right )}{\left ( DQC \right )}=\dfrac{\dfrac{7a^2}{60}}{\dfrac{3a^2}{10}}=\dfrac{7}{18}$

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 09, 2019 7:10 pm
Το είναι σημείο της πλευράς τετραγώνου τέτοιο ώστε $AP=\dfrac{a}{3}$ και είναι

το σημείο τομής των Να εντοπίσετε σημείο του τμήματος ώστε, αν η τέμνει τη

στο το να είναι εγγράψιμο. Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}}.$

Καλημέρα!

: shape.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

1) Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του ABCD

. Για να είναι το PSTQ

εγγράψιμο, αρκεί τα ορθογώνια τρίγωνα CBP,COT

να είναι όμοια, δηλαδή:

$\dfrac{a}{{2a/3}} = \dfrac{{a\sqrt 2 /2}}{{OT}} \Leftrightarrow OT = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}$

Έτσι, προσδιορίστηκε το σημείο

και από τα όμοια $\triangleleft SBT, \triangleleft CDT:SB = \dfrac{a}{5}$

2) Από $\triangleleft TCD \sim \triangleleft CQD \Rightarrow \dfrac{{5a\sqrt 2 /6}}{a} = \dfrac{a}{{DQ}} \Leftrightarrow DQ = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{5}$

Από $\triangleleft PBQ \sim \triangleleft CDQ \Rightarrow \dfrac{{(PBQ)}}{{(CDQ)}} = {\left( {\dfrac{{PB}}{{CD}}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\,(1)$

Από $\triangleleft SBT \sim \triangleleft CDQ \Rightarrow \dfrac{{(SBT)}}{{(CDQ)}} = {\left( {\dfrac{{SB}}{{DQ}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{18}}\,(2)$

Με αφαίρεση κατά μέλη των $(1),(2):\dfrac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}} = \dfrac{7}{{18}}$

#4

Ανάλυση-Κατασκευή

α) Έστω λυμένο το πρόβλημα.

Επειδή $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ τα τρίγωνα $APC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTC$ θα έχουν τις γωνίες στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ ίσες με $45^\circ$ κάθε μια και στα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ ίσες ως παραπληρώματα των $\widehat {{\theta _1}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _2}}$ .

Αν

το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου θα είναι :

$\dfrac{{TB}}{{AP}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{BC}}{{BD}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \boxed{TB = \dfrac{1}{3}OB}$ .

: Εντοπισμός σημείου και λόγος_3.png (26.41 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

β) Τα τρίγωνα $QDC\,\,,\,\,PBQ\,\,,\,\,SBT$ είναι προφανώς όμοια .( Παρόμοια λύση με του Μιχάλη )

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{X + N}}{Y} = {\left( {\frac{{PB}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{4}{9} \hfill \\ \frac{N}{Y} = {\left( {\frac{{TB}}{{DC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{6}} \right)^2} = \frac{1}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{X}{Y} = \frac{4}{9} - \frac{1}{{18}} = \frac{7}{{18}}}$

Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

Re: Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

Re: Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

Re: Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση