Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8308
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 09, 2019 7:10 pm

Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών.png
Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών.png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές
Το P είναι σημείο της πλευράς AB=a τετραγώνου ABCD, τέτοιο ώστε AP=\dfrac{a}{3} και Q είναι

το σημείο τομής των PC, BD. Να εντοπίσετε σημείο S του τμήματος PB ώστε, αν η SC τέμνει τη

BD στο T, το PSTQ να είναι εγγράψιμο. Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 369
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιούλ 09, 2019 8:19 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 7:10 pm
Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών.pngΤο P είναι σημείο της πλευράς AB=a τετραγώνου ABCD, τέτοιο ώστε AP=\dfrac{a}{3} και Q είναι

το σημείο τομής των PC, BD. Να εντοπίσετε σημείο S του τμήματος PB ώστε, αν η SC τέμνει τη

BD στο T, το PSTQ να είναι εγγράψιμο. Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}}.
Καλησπέρα!
Είναι \tan\widehat{DQC}=-\tan(\widehat{QDC}+\widehat{QCD})=\dfrac{1+\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-1}=5

Για να είναι εγγράψιμο το \displaystyle{PSTQ} αρκεί \widehat{CSB}=\widehat{DQC} άρα \tan\widehat{CSB}=5\Leftrightarrow BS=\dfrac{a}{5}
Έχουμε \dfrac{PB}{a}=\dfrac{BQ}{DQ}\Leftrightarrow DQ=\dfrac{3}{5}a\sqrt{2} άρα \left ( QDC \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot \dfrac{3}{5}a\sqrt{2}=\dfrac{3a^2}{10}.
Επίσης \dfrac{BT}{DT}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow BT=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}

\left ( STQP \right )=\left ( PBQ \right )-\left ( SBT \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left ( \dfrac{2}{3}a\cdot \dfrac{2}{5}a\sqrt{2} -\dfrac{a\sqrt{2}}{6}\cdot \dfrac{a}{5}\right )=\dfrac{7a^2}{60}

\dfrac{\left ( PSTQ \right )}{\left ( DQC \right )}=\dfrac{\dfrac{7a^2}{60}}{\dfrac{3a^2}{10}}=\dfrac{7}{18}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιούλ 10, 2019 11:31 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 7:10 pm
Το P είναι σημείο της πλευράς AB=a τετραγώνου ABCD, τέτοιο ώστε AP=\dfrac{a}{3} και Q είναι

το σημείο τομής των PC, BD. Να εντοπίσετε σημείο S του τμήματος PB ώστε, αν η SC τέμνει τη

BD στο T, το PSTQ να είναι εγγράψιμο. Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}}.
Καλημέρα!
shape.png
shape.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
1) Έστω O το σημείο τομής των διαγωνίων του ABCD. Για να είναι το PSTQ εγγράψιμο, αρκεί τα ορθογώνια τρίγωνα CBP,COT να είναι όμοια, δηλαδή:

\dfrac{a}{{2a/3}} = \dfrac{{a\sqrt 2 /2}}{{OT}} \Leftrightarrow OT = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}

Έτσι, προσδιορίστηκε το σημείο T και από τα όμοια  \triangleleft SBT, \triangleleft CDT:SB = \dfrac{a}{5}

2) Από  \triangleleft TCD \sim  \triangleleft CQD \Rightarrow \dfrac{{5a\sqrt 2 /6}}{a} = \dfrac{a}{{DQ}} \Leftrightarrow DQ = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{5}

Από  \triangleleft PBQ \sim  \triangleleft CDQ \Rightarrow \dfrac{{(PBQ)}}{{(CDQ)}} = {\left( {\dfrac{{PB}}{{CD}}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\,(1)

Από  \triangleleft SBT \sim  \triangleleft CDQ \Rightarrow \dfrac{{(SBT)}}{{(CDQ)}} = {\left( {\dfrac{{SB}}{{DQ}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{18}}\,(2)

Με αφαίρεση κατά μέλη των (1),(2):\dfrac{{(PSTQ)}}{{(QDC)}} = \dfrac{7}{{18}}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εντοπισμός σημείου και λόγος εμβαδών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 11, 2019 7:56 pm

Ανάλυση-Κατασκευή

α) Έστω λυμένο το πρόβλημα.

Επειδή \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} τα τρίγωνα APC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTC θα έχουν τις γωνίες στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B ίσες με 45^\circ κάθε μια και στα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T ίσες ως παραπληρώματα των \widehat {{\theta _1}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _2}} .

Αν O το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου θα είναι :

\dfrac{{TB}}{{AP}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{BC}}{{BD}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \boxed{TB = \dfrac{1}{3}OB}.
Εντοπισμός σημείου και λόγος_3.png
Εντοπισμός σημείου και λόγος_3.png (26.41 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές

β) Τα τρίγωνα QDC\,\,,\,\,PBQ\,\,,\,\,SBT είναι προφανώς όμοια .( Παρόμοια λύση με του Μιχάλη )

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{X + N}}{Y} = {\left( {\frac{{PB}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{4}{9} \hfill \\ 
  \frac{N}{Y} = {\left( {\frac{{TB}}{{DC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{6}} \right)^2} = \frac{1}{{18}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{X}{Y} = \frac{4}{9} - \frac{1}{{18}} = \frac{7}{{18}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες