Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος εμβαδών από συμμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 01, 2019 7:27 pm

Λόγος εμβαδών από συμμετρία.png
Λόγος εμβαδών από συμμετρία.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές
Έστω M το μέσο του ύψους AD ορθογωνίου τριγώνου ABC(\widehat A=90^\circ).

Οι συμμετρικές της BC ως προς τις BM, CM τέμνονται στο E. Να βρείτε το λόγο \dfrac{(ABC)}{(EBC)}.



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τρί Ιούλ 02, 2019 9:00 pm

BC=x, CE=y, EB=z

Το Μ έγκεντρο του EBC

BD=s-y, CD=s-z

AD=\sqrt{(s-y)(s-z)}

(EBC)=sr=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \dfrac{s\sqrt{(s-z)(s-y)}}{2}=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \sqrt{s}=2\sqrt{s-x}\Leftrightarrow s=4s-4x\Leftrightarrow \dfrac{x}{s}=\dfrac{3}{4}

Εχω

\dfrac{(ABC)}{(EBC)}=\dfrac{\dfrac{AD\cdot x}{2}}{sr}=\dfrac{x}{s}=\dfrac{3}{4}


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιούλ 03, 2019 10:35 am

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιούλ 01, 2019 7:27 pm
Λόγος εμβαδών από συμμετρία.png
Έστω M το μέσο του ύψους AD ορθογωνίου τριγώνου ABC(\widehat A=90^\circ).

Οι συμμετρικές της BC ως προς τις BM, CM τέμνονται στο E. Να βρείτε το λόγο \dfrac{(ABC)}{(EBC)}.
Είναι \left ( ABC \right )=\dfrac{1}{2}BC^2\cos\widehat{CBA}\sin\widehat{CBA}

Με νόμο ημιτόνων στο BEC είναι BE=\dfrac{BC\sin\widehat{ECB}}{\sin\left ( \widehat{EBC}+\widehat{ECB} \right )}
Άρα \left ( EBC \right )=\dfrac{1}{2}BC\cdot EB=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sin\widehat{EBC}\cdot \sin\widehat{ECB}}{\sin\left ( \widehat{ECB} +\widehat{EBC}\right )}BC^2=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{BC^2}{\cot\widehat{ECB}+\cot\widehat{EBC}}

Έχουμε: \cot\widehat{EBC}=\cot\left ( 2\widehat{MBC} \right )=\dfrac{\cot^2\widehat{MBC}-1}{2\cot\widehat{MBC}}=\dfrac{4\cot^2\widehat{ABC}-1}{4\cot\widehat{ABC}}

Όμοια \cot\widehat{ECB}=\dfrac{4\cot^2\widehat{ACB}-1}{4\cot\widehat{ACB}}=\dfrac{\dfrac{4}{\cot^2\widehat{ABC}}-1}{\dfrac{4}{\cot\widehat{ABC}}}=\dfrac{4-\cot^2\widehat{ABC}}{4\cot\widehat{ABC}}

Έτσι είναι
\cot\widehat{ECB}+\cot\widehat{EBC}=\dfrac{4\cot^2\widehat{ABC}-1}{4\cot\widehat{ABC}}+\dfrac{4-\cot^2\widehat{ABC}}{4\cot\widehat{ABC}} =\dfrac{3\cot^2\widehat{ABC}+3}{4\cot\widehat{ABC}}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sin^2\widehat{ABC}}}{\dfrac{\cos\widehat{ABC}}{\sin\widehat{ABC}}}=...\dfrac{3}{4\cos\widehat{ABC}\sin\widehat{ABC}}

Έχουμε \dfrac{\left ( ABC \right )}{\left ( EBC \right )}=\dfrac{BC^2\cos\widehat{ABC}\sin\widehat{ABC}}{BC^2\cdot \dfrac{4}{3}\cos\widehat{ABC}\sin\widehat{ABC}}=\dfrac{3}{4}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 03, 2019 8:22 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιούλ 01, 2019 7:27 pm
Λόγος εμβαδών από συμμετρία.png
Έστω M το μέσο του ύψους AD ορθογωνίου τριγώνου ABC(\widehat A=90^\circ).

Οι συμμετρικές της BC ως προς τις BM, CM τέμνονται στο E. Να βρείτε το λόγο \dfrac{(ABC)}{(EBC)}.
Για κάθε τρίγωνο ABC με ημιπερίμετρο s και ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r ισχύει :

\boxed{{r^2} = \frac{{(s - a)(s - b)(s - c)}}{s}}

Εμβαδόν και συμμετρία.png
Εμβαδόν και συμμετρία.png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Στο συγκεκριμένο τρίγωνο EBC με έγκεντρο M και ακτίνα \boxed{r = \frac{{AD}}{2}} θεωρώ K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L τα σημεία επαφής EC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB με το κύκλο (M,r).

Θέτω EK = EL = x\,\,,\,\,BD = Bl = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD = CK = w και θα είναι :

A{D^2} = DB \cdot DC \Leftrightarrow \boxed{4{r^2} = yw}\,\,(1) και επειδή:

{r^2} = \dfrac{{(s - BC)(s - CE)(s - EB)}}{s} = \dfrac{{xyw}}{s} = \dfrac{{x4{r^2}}}{s} θα έχω : s = 4x \Leftrightarrow x + y + w = 4x \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{BC}}{3} = \frac{a}{3}}

\boxed{\dfrac{{(ABC)}}{{(EBC)}} = \dfrac{{ar}}{{(x + y + w)r}} = \dfrac{a}{{a + \dfrac{a}{3}}} = \dfrac{3}{4}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:06 pm

Κάπως διαφορετικά, χρησιμοποιώντας όμως ότι το M είναι έγκεντρο του τριγώνου EBC.
Λόγος εμβαδών από συμμετρία.β.png
Λόγος εμβαδών από συμμετρία.β.png (16.92 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές
Φέρνω την εφαπτομένη του έγκυκλου στο A που τέμνει τις AB, AC σταP, Q και το ύψος EL του τριγώνου EBC.

Προφανώς, PQ||BC και τα τρίγωνα APM, DMB είναι όμοια:

\displaystyle \frac{{AP}}{{MD}} = \frac{{AM}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{A{D^2}}}{4} = AP \cdot BD \Leftrightarrow BD \cdot DC = 4AP \cdot BD \Leftrightarrow DC = 4AP

Ομοίως, \displaystyle BD = 4AQ \Rightarrow BC = 4PQ \Leftrightarrow \frac{{EK}}{{EL}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{AD}}{{EL}} = \frac{{KL}}{{EL}} = \frac{3}{4}, άρα \boxed{\frac{(ABC}{(EBC)}=\frac{3}{4}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 04, 2019 5:24 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:06 pm
Κάπως διαφορετικά, χρησιμοποιώντας όμως ότι το M είναι έγκεντρο του τριγώνου EBC. Λόγος εμβαδών από συμμετρία.β.png
Φέρνω την εφαπτομένη του έγκυκλου στο A που τέμνει τις AB, AC σταP, Q και το ύψος EL του τριγώνου EBC.

Προφανώς, PQ||BC και τα τρίγωνα APM, DMB είναι όμοια:

\displaystyle \frac{{AP}}{{MD}} = \frac{{AM}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{A{D^2}}}{4} = AP \cdot BD \Leftrightarrow BD \cdot DC = 4AP \cdot BD \Leftrightarrow DC = 4AP

Ομοίως, \displaystyle BD = 4AQ \Rightarrow BC = 4PQ \Leftrightarrow \frac{{EK}}{{EL}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{AD}}{{EL}} = \frac{{KL}}{{EL}} = \frac{3}{4}, άρα \boxed{\frac{(ABC}{(EBC)}=\frac{3}{4}}
:coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης