Τρεις ανισότητες

KARKAR · #1

: Τριπλή ανισότητα.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με $\hat{B}<\hat{C}$ , σχεδιάσαμε τη διχοτόμο

και τον κύκλο (B,A,D)

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα

στο σημείο

. Η εφαπτομένη του κύκλου στο

, τέμνει την

πλευρά AC=b

, στο

. Δείξτε ότι : α) $CD>\dfrac{b}{2}$ ...... β) $CS<\dfrac{b}{2}$ και ...... γ) $SD>\dfrac{b}{6}$

ksofsa · #2

Μήπως χρειάζεται κάποιος περιορισμός στην εκφώνηση;

Γιατί για <B=60, <C=30

είναι $CS=\frac{b}{2}$ .

ksofsa · #3

Θεωρώ $Q\equiv BD\cap AT, P\equiv ST\cap BD$

Για την 1η ανισότητα:

Από θ. διχοτόμων έχω:

$\frac{CD}{DA}=\frac{BC}{AB}>1\Rightarrow CD>DA\Rightarrow 2CD>CD+DA\Rightarrow CD>\frac{b}{2}$

Για τη 2η ανισότητα:

Εχω <STD=<ATD=<B/2

Αρα , η

διχοτόμος στο τρίγωνο STA

και η

εξωτερική διχοτόμος ως κάθετη στην

Από θ. διχοτόμων έχω

$\frac{CS}{CA}=\frac{DS}{DA}=\frac{ST}{TA}=\frac{ST}{2TQ}.$

Αρα ,αρκεί ν.δ.ό.

ST<TQ

Εστω K η προβολή του D στην ST

Είναι <DST=180-<B-<B/2=90+<C-<B/2>90

Αρα το σημείο Κ επί τα εκτός του τμηματος ST στη μεριά του S

Αρα, $KT>ST\Rightarrow TQ>ST$ , ο.έ.δ.

Για την 3η ανισότητα:

Από θ. διχοτόμων έχω

$\frac{AD}{SD}=\frac{AT}{ST}=\frac{AT+AP}{PT}=\frac{AT}{PT}+1=\frac{2TQ}{PT}+1=2cosB+1$

και

$\frac{CS}{SD}=\frac{AC}{AD}=1+\frac{CD}{AD}=1+\frac{BC}{AB}=1+\frac{1}{cosB}$

Αρα

$\frac{CA}{SD}=\frac{CS}{SD}+\frac{SD}{SD}+\frac{DA}{SD}=3+2cosB+\frac{1}{cosB}$

Για να ισχύει το ζητούμενο θα πρέπει

$2cosB+\frac{1}{cosB}< 3$

Θεωρώ τη συναρτηση

$f(x)=2cosx+\frac{1}{cosx}, o<x\leq \frac{\pi }{4}$

με $f'(x)=sinx(\frac{1}{cos^2x}-2)\leq 0, 0<x\leq \frac{\pi }{4}$

Αρα , $2cosB+\frac{1}{cosB}<f(0)=3,$ , ό.έ.δ.

ksofsa · #4

Αφού

$f(x)\geq f(\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$

ισχύει η διπλή ανισότητα

$\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{3+2\sqrt{2}}$

και η απόρροιά της , η λιγότερο σφιχτή αλλά πιο κομψή ανισότητα

$\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{5}$

KARKAR · #5

: Τριπλή ανισότητα.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

Καθυστερημένο σχήμα για τη λύση του Κώστα τον οποίο ευχαριστώ

Τρεις ανισότητες

Τρεις ανισότητες

Re: Τρεις ανισότητες

Re: Τρεις ανισότητες

Re: Τρεις ανισότητες

Re: Τρεις ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση