Τρεις ανισότητες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10950
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρεις ανισότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 25, 2019 11:34 am

Τριπλή  ανισότητα.png
Τριπλή ανισότητα.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC με \hat{B}<\hat{C} , σχεδιάσαμε τη διχοτόμο BD και τον κύκλο (B,A,D)

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα BC στο σημείο T . Η εφαπτομένη του κύκλου στο T , τέμνει την

πλευρά AC=b , στο S . Δείξτε ότι : α) CD>\dfrac{b}{2} ...... β) CS<\dfrac{b}{2} και ...... γ) SD>\dfrac{b}{6}
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τετ Ιουν 26, 2019 1:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρεις ανισότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Ιουν 26, 2019 11:49 am

Μήπως χρειάζεται κάποιος περιορισμός στην εκφώνηση;

Γιατί για <B=60, <C=30 είναι CS=\frac{b}{2}.


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρεις ανισότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Ιουν 27, 2019 3:39 pm

Θεωρώ Q\equiv BD\cap AT, P\equiv ST\cap BD

Για την 1η ανισότητα:

Από θ. διχοτόμων έχω:

\frac{CD}{DA}=\frac{BC}{AB}>1\Rightarrow CD>DA\Rightarrow 2CD>CD+DA\Rightarrow CD>\frac{b}{2}

Για τη 2η ανισότητα:

Εχω <STD=<ATD=<B/2

Αρα , η TD διχοτόμος στο τρίγωνο STA

και η TC εξωτερική διχοτόμος ως κάθετη στην TD

Από θ. διχοτόμων έχω

\frac{CS}{CA}=\frac{DS}{DA}=\frac{ST}{TA}=\frac{ST}{2TQ}.

Αρα ,αρκεί ν.δ.ό.

ST<TQ

Εστω K η προβολή του D στην ST

Είναι <DST=180-<B-<B/2=90+<C-<B/2>90

Αρα το σημείο Κ επί τα εκτός του τμηματος ST στη μεριά του S

Αρα, KT>ST\Rightarrow TQ>ST, ο.έ.δ.

Για την 3η ανισότητα:


Από θ. διχοτόμων έχω

\frac{AD}{SD}=\frac{AT}{ST}=\frac{AT+AP}{PT}=\frac{AT}{PT}+1=\frac{2TQ}{PT}+1=2cosB+1

και

\frac{CS}{SD}=\frac{AC}{AD}=1+\frac{CD}{AD}=1+\frac{BC}{AB}=1+\frac{1}{cosB}

Αρα


\frac{CA}{SD}=\frac{CS}{SD}+\frac{SD}{SD}+\frac{DA}{SD}=3+2cosB+\frac{1}{cosB}

Για να ισχύει το ζητούμενο θα πρέπει

2cosB+\frac{1}{cosB}< 3


Θεωρώ τη συναρτηση

f(x)=2cosx+\frac{1}{cosx}, o<x\leq \frac{\pi }{4}

με f'(x)=sinx(\frac{1}{cos^2x}-2)\leq 0, 0<x\leq \frac{\pi }{4}

Αρα , 2cosB+\frac{1}{cosB}<f(0)=3, , ό.έ.δ.


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρεις ανισότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Ιουν 27, 2019 3:59 pm

Αφού

f(x)\geq f(\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}

ισχύει η διπλή ανισότητα

\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{3+2\sqrt{2}}

και η απόρροιά της , η λιγότερο σφιχτή αλλά πιο κομψή ανισότητα

\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{5}


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10950
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρεις ανισότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 27, 2019 5:12 pm

Τριπλή  ανισότητα.png
Τριπλή ανισότητα.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Καθυστερημένο σχήμα για τη λύση του Κώστα τον οποίο ευχαριστώ :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης