Ελάχιστο σε τετράγωνο

#1

: Ελάχιστο σε τετράγωνο.png (7.58 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

πλευράς

και τα σημεία E, F

των πλευρών BC, CD

αντίστοιχα ώστε $A\widehat EF=60^\circ.$ Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του DF.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2019 11:13 am
Ελάχιστο σε τετράγωνο.png
Δίνεται τετράγωνο πλευράς και τα σημεία των πλευρών

αντίστοιχα ώστε $A\widehat EF=60^\circ.$ Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του

: Ελάχιστο σε τετράγωνο_ok.png (29 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Ας δούμε πρώτα την εύρεση του σημείου

.

Θεωρώ το σημείο

της

για το οποίο $\widehat {SAD} = 30^\circ$ και την παραβολή με

εστία το

και διευθετούσα την

. Η μεσοκάθετος του

τέμνει την παραβολή στο

.

Ο κύκλος (K,KA)

εφάπτεται της

στο

και τέμνει την

στα

.

Οι υπολογισμοί αργότερα.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μια προσέγγιση με μια μικρούλα βοηθητική γραμμή και τριγωνομετρία. Οι υπολογισμοί ήταν κάπως μπελαλίδικοι (αν δεν έχω κάνει εγώ λάθος στις πράξεις. Ο Θανάσης έφτιαξε σχολή μού φαίνεται...

: 26-06-2019 Γεωμετρία.jpg (51.39 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Έστω

.

Στο

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{AB}} = y$ (1) και στο FEC

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {30^\circ + \varphi } \right) = \frac{{FC}}{{EC}} = \frac{{1 - x}}{{1 - y}}$ (2).

H (2) γράφεται $\displaystyle \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3} + \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\varepsilon \varphi \varphi }} = \frac{{1 - x}}{{1 - y}} \Rightarrow \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3} + y}}{{1 - \frac{{\sqrt 3 y}}{3}}} = \frac{{1 - x}}{{1 - y}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 + 3y}}{{3 - \sqrt 3 y}} = \frac{{1 - x}}{{1 - y}} \Leftrightarrow x = \frac{{3{y^2} - 3y + \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{{ - y\sqrt 3 + 3}}$ .

To ελάχιστο προκύπτει όταν $\displaystyle y = \frac{{3 - 2\sqrt {3 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt 3 }}$ και το βρίσκω περίπου, (δεν κάνω τις αντικαταστάσεις με τον άρρητο

), ίσο με $0,236 \cdot a$ .

#4

: Ελάχιστο σε τετράγωνο_ok_αναλυτική.png (32.56 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

Αν

η αρχή συστήματος συντεταγμένων , $B(a,0)\,\,,\,\,C(a,a)\,\,,\,\,D(0,a)$ είναι

$S\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 3 }},a} \right)$ . Η παραβολή έχει εξίσωση : ${y^2} = - 2ax + {a^2}$

η μεσοκάθετη στην

έχει εξίσωση: $y - \dfrac{a}{2} = - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}} \right)$ .

Λύνω το σύστημά τους και βρίσκω τις συντεταγμένες του κέντρου

άρα και την ακτίνα

.

Επειδή $AF = {\lambda _3} = R\sqrt 3$ από το Π. Θ. στο $\vartriangle DAF$ έχω: $D{F^2} = 3{R^2} - {a^2}$ ή τελικά:

$\boxed{DF = a\sqrt { - \sqrt {9792 - 4800\sqrt 3 } - 28\sqrt 3 + 87} }$

#5

Να ευχαριστήσω τον Νίκο και τον Γιώργο για την υπομονή τους να ασχοληθούν με τις χρονοβόρες αυτές πράξεις.

Η λύση μου είναι ίδια με του Γιώργου και δίνει τελικό τύπο: $\boxed{D{F_{\min }} = \left( {4\sqrt {3 - \sqrt 3 } + \sqrt 3 - 6} \right)a}$

Όποιος έχει το κουράγιο (

) ας ταυτοποιήσει αυτό τον τύπο με τον αντίστοιχο του Νίκου.

Ελάχιστο σε τετράγωνο

Ελάχιστο σε τετράγωνο

Re: Ελάχιστο σε τετράγωνο

Re: Ελάχιστο σε τετράγωνο

Re: Ελάχιστο σε τετράγωνο

Re: Ελάχιστο σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση