Σταθερή και μέγιστη τιμή

[KARKAR]

Σταθερή και μέγιστη.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα . Περιγράφουμε ( πώς ; ) στο

το ορθογώνιο . Δείξτε ότι η διαγώνιος του ορθογωνίου , σχηματίζει σταθερή γωνία με την

πλευρά και βρείτε την θέση του ορθογωνίου για την οποία επιτυγχάνεται η μέγιστη τιμή της .

[Altrian]

Θανάση καλησπέρα,

σταθερη και μεγιστη τιμη_1.png (42.3 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

α) Γράφω τους κύκλους με διαμέτρους τις οι οποίοι ξανατέμνονται (πλην του ) έστω στο . Προφανώς οι κορυφές του περιγεγραμμένου ορθογωνίου κινούνται στους δύο αυτούς κύκλους. Φέρνω τις και .

. Επίσης εύκολα έχουμε ότι: .
Από τις ανωτέρω προκύπτει ότι δηλ. η διέρχεται από το σταθερό σημείο .
Επομένως σταθερή γιατί είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε σταθερή χορδή σταθερού κύκλου.

Τώρα η κατασκευή ενός τέτοιου ορθογωνίου είναι εύκολη επιλέγοντας ένα τυχαίο σημείο του περίκυκλου του και προεκτείνοντας την μέχρι να τμήσει τον άλλο κύκλο στο έχουμε την διαγώνιο . Στη συνέχεια η τομή της με τον κύκλο διαμέτρου μας δίνει το σημείο .

β) Παρατηρούμε ότι όλα τα δυνατά ορθογώνια είναι όμοια μεταξύ τους γιατί η γωνία μεταξύ διαγωνίου και πλευράς είναι σταθερή.
Επομένως ζητάμε το μέγιστο δυνατό ορθογώνιο. Παρατηρούμε ότι το έχει σταθερό μήκος και έχει τα άκρα του στις απέναντι πλευρές του ορθογωνίου. Αρα το ορθογώνιο μεγιστοποιείται όταν το είναι παράλληλο με τις πλευρές του. (βλ. Σχ.2)

σταθερη και μεγιστη τιμη_2.png (32.71 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές