Στο εσωτερικό ισοπλεύρου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Στο εσωτερικό ισοπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 19, 2019 6:09 pm

Στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC υπάρχει σημείο M ώστε τα AM, BM, CM να είναι μήκη

πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την AM. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπου του M.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Στο εσωτερικό ισοπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιουν 19, 2019 7:05 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιουν 19, 2019 6:09 pm
Στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC υπάρχει σημείο M ώστε τα AM, BM, CM να είναι μήκη

πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την AM. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπου του M.
Έστω O το μέσο του BC και θεωρούμε το καρτεσιανό επίπεδο.

Έστω B\left ( -a,0 ),C(a,0) θα είναι A\left (0  ,a\sqrt{3}\right )

Αν M(x_0,y_0) έχουμε την σχέση:

\left ( x_0+a\right )^2+y_0^2+(x_0-a)^2+y_0^2=x_0^2+(y_0-a\sqrt{3})^2\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2+2\sqrt{3}ay_0-a^2=0

Που είναι κύκλος με κέντρο \left ( 0,-\sqrt{3}a \right ) και ακτίνα 2a.

Ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του παραπάνω κύκλου που βρίσκονται στο εσωτερικό του ισοπλεύρου.
70.PNG
70.PNG (38.08 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στο εσωτερικό ισοπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 19, 2019 7:17 pm

Πολύ ωραία Πρόδρομε :clap2:


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Στο εσωτερικό ισοπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιουν 20, 2019 12:17 am

Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, το πρόβλημα μπορεί να διαμορφωθεί και σε τυχόν τρίγωνο (Τελικά με θεώρημα Stewart στο τρίγωνο AMQ, όπου Q το μέσο της BC κτλ.).

Π.Χ.
Αν υπάρχει τρίγωνο ABC στο οποίο να υπάρχει ένα εσωτερικό του σημείο M τέτοιο που τα MA,MB,MC να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το MA, τότε θα υπάρχουν άπειρα, των οποίων ζητάμε τον γ.τ.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στο εσωτερικό ισοπλεύρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 20, 2019 5:58 pm

Για τη γενίκευση που γράφει ο Σωτήρης. Γεια σου Σωτήρη!

Ακολουθώντας τον τρόπο του Πρόδρομου. Έστω τρίγωνο ABC, με A(0,a), B(-b,0), C(c,0), a,b,c>0

και σημείο M(x,y) ώστε \displaystyle A{M^2} = B{M^2} + C{M^2}.

GT...png
GT...png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
\displaystyle {x^2} + {(y - a)^2} = {(x + b)^2} + {y^2} + {(x - c)^2} + {y^2} \Leftrightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} - 2(c - b)x + 2ay + {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0}

Αν \boxed{a^2-bc>0} η τελευταία αυτή εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο \boxed{K(c-b,-a)} και ακτίνα \boxed{r=\sqrt{2(a^2-bc)}}

Ο ζητούμενος λοιπόν γεωμετρικός τόπος είναι το κόκκινο τόξο αυτού του κύκλου που είναι εσωτερικό του τριγώνου.

Διερεύνηση: Για να έχει λύση το πρόβλημα, θα πρέπει κατ' αρχάς να υπάρχει ο κύκλος και επιπλέον ο κύκλος αυτός να τέμνει την BC.

Δηλαδή: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{a^2} > bc\\ 
\\ 
r > a 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{a^2>2bc}


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Στο εσωτερικό ισοπλεύρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Ιουν 21, 2019 12:01 am

Γειά σου φίλε Γιώργο.

Παρατηρούμε ότι:
\displaystyle{BQ = QC \Rightarrow M{A^2} = M{B^2} + M{C^2} \Rightarrow } \displaystyle{M{A^2} = 2M{Q^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow M{A^2} - 2M{Q^2} = \frac{{{a^2}}}{2},}
οπότε από το γνωστό δεύτερο θεωρήμα του Stewart (με πράξη σύνδεσης την διαφορά) το M θα κινείται σε κύκλο ή τόξο του κύκλου αυτού, με κέντρο εκτός του AQ, προς το Q.


(*) Με την πρώτη ευκαιρία θα επανέρθω για λεπτομέρειες, εκτός και αν με προλάβει κάποιος άλλος φίλος.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης