Μέγιστη απομάκρυνση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10608
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη απομάκρυνση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 18, 2019 10:29 am

Σημείο S κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου AB=2r . Από το B φέρουμε κάθετο τμήμα

BT , προς την εφαπτομένη του τόξου στο S . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος AT .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τρί Ιουν 18, 2019 12:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 286
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιουν 18, 2019 11:58 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 18, 2019 10:29 am
Σημείο S κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου AB=2r . Από το B φέρουμε κάθετο τμήμα

AT , προς την εφαπτομένη του τόξου στο S . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος AT .
Καλημέρα!

Αρχικά υποθέτω ότι εννοείτε '' κάθετο τμήμα BT ''.

Έστω  O το μέσο του AB

Από νόμο συνημιτόνων στο ATB είναι :

AT^2=4r^2+BT^2-4r\cdot BT\cdot \cos\widehat{OBT}

Από τις παράλληλες OS//BT είναι \widehat{BOS}=180-\widehat{OBT}(=\theta)

Είναι \widehat{OAS}=\widehat{BST}\,\,\,\,(*) ως γωνίες χορδής-εφαπτομένης.

BT=BS\cdot \sin\widehat{BST}\overset{(*)}{=}\dfrac{BS^2}{2r}

Επίσης με νόμο συνημιτόνων στο OBS είναι BS^2=2r^2(1-\cos^2\vartheta )

Οπότε η αρχική σχέση γίνεται :

AT^2=4r^2+BT^2+4r\cdot BT\cdot \cos\vartheta = 4r^2+\dfrac{BS^4}{4r^2}+4\cdot r\cdot \dfrac{BS^2}{2r}\cdot \cos\vartheta =4r^2+r^2(1-\cos\vartheta )^2+\,\,\,\,\,++4r^2(1-\cos\vartheta )\cos\vartheta =r^2(-3\cos^2\vartheta +2\cos\vartheta +5)

Το τριώνυμο -3\cos^2\vartheta +2\cos\vartheta +5 παρουσιάζει μέγιστο στο 1/3(δεκτό) το \dfrac{16}{3}

Έτσι είναι AT_{max}=r\cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3}
67.PNG
67.PNG (28.49 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8066
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 18, 2019 5:52 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 18, 2019 10:29 am
Σημείο S κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου AB=2r . Από το B φέρουμε κάθετο τμήμα

BT , προς την εφαπτομένη του τόξου στο S . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος AT .
Έστω O το κέντρο του ημικυκλίου, K το σημείο τομής των SO, AT και OK=x. Εύκολα το K είναι μέσο του AT και BT=2x.
Μέγιστη απομάκρυνση.Κ.png
Μέγιστη απομάκρυνση.Κ.png (21.25 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
\displaystyle S\widehat BT = O\widehat SB = S\widehat BO, άρα τα τρίγωνα \displaystyle SBT,ASB είναι όμοια και \displaystyle \frac{{2r}}{{SB}} = \frac{{SB}}{{2x}} = \frac{{SA}}{{ST}}, απ' όπου

\displaystyle S{B^2} = 4rx και \displaystyle S{T^2} = \frac{{4rx}}{{4{r^2}}}S{A^2} = \frac{x}{r}(4{r^2} - 4rx) \Leftrightarrow \boxed{S{T^2} = 4xr - 4{x^2}} Με Π. Θ τώρα στο SKT,

\displaystyle K{T^2} = {(r - x)^2} + 4xr - 4{x^2} \Leftrightarrow A{T^2} = 4( - 3{x^2} + 2xr + {r^2}) που παρουσιάζει για \boxed{x = \frac{r}{3}} μέγιστο

ίσο με \displaystyle \frac{{48{r^2}}}{9}. Επομένως, \boxed{A{T_{\max }} = \frac{{4r\sqrt 3 }}{3}}



Παρατηρήσεις: Σε αυτή τη θέση το STBK είναι ορθογώνιο και το K είναι βαρύκεντρο του τριγώνου SAB.

Η θέση του S εντοπίζεται από το μήκος του \displaystyle BS = KT = \frac{{2r\sqrt 3 }}{3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης