Μέγιστο εμβαδόν 14

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10873
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 14

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 13, 2019 11:17 am

Μέγιστο  εμβαδόν.png
Μέγιστο εμβαδόν.png (7.64 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
Οι πλευρές a,b,c του οξυγωνίου σκαληνού τριγώνου \displaystyle ABC είναι γνωστές . Σημείο S

κινείται στη βάση BC . Φέρω : SP\perp AB , ST \perp AC . Να βρεθεί η θέση του S ,

για την οποία μεγιστοποιείται το (SPT) και να υπολογιστεί το (SPT)_{max} .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11489
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 14

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 13, 2019 6:26 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 13, 2019 11:17 am
Μέγιστο εμβαδόν.pngΟι πλευρές a,b,c του οξυγωνίου σκαληνού τριγώνου \displaystyle ABC είναι γνωστές . Σημείο S

κινείται στη βάση BC . Φέρω : SP\perp AB , ST \perp AC . Να βρεθεί η θέση του S ,

για την οποία μεγιστοποιείται το (SPT) και να υπολογιστεί το (SPT)_{max} .
Αν BS=x τότε

(SPT) = \frac {1}{2} SP\cdot ST \sin S = \frac {1}{2} x\sin B (a-x) \sin C \sin A = (stathera) x(a-x), που μεγιστοποιείται όταν x=a/2


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 14

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 13, 2019 7:43 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 13, 2019 11:17 am
Μέγιστο εμβαδόν.pngΟι πλευρές a,b,c του οξυγωνίου σκαληνού τριγώνου \displaystyle ABC είναι γνωστές . Σημείο S

κινείται στη βάση BC . Φέρω : SP\perp AB , ST \perp AC . Να βρεθεί η θέση του S ,

για την οποία μεγιστοποιείται το (SPT) και να υπολογιστεί το (SPT)_{max} .
Έστω BS=x, R η ακτίνα του περίκυκλου και E=(ABC).
Μέγιστο εμβαδόν 14.png
Μέγιστο εμβαδόν 14.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
\displaystyle (SPT) = \frac{1}{2}ST \cdot SP\sin S = \frac{1}{2}ST \cdot SP\sin A = \frac{1}{2}x(a - x)\sin A\sin B\sin C = \frac{{abc}}{{16{R^3}}}x(a - x)

Αλλά, \displaystyle  - {x^2} + ax - \frac{{{a^2}}}{4} =  - {\left( {x - \frac{a}{2}} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow x(a - x) \le \frac{{{a^2}}}{4}, οπότε το (SPT) μεγιστοποιείται όταν το S γίνει

μέσο του BC και είναι: \displaystyle {(SPT)_{\max }} = \frac{{{a^3}bc}}{{64{R^3}}} = \frac{{{a^3}bc{E^3}}}{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = \frac{{{E^3}}}{{{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow

\boxed{{(SPT)_{\max }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {(a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a + c - b)} } \right)}^3}}}{{{{(8bc)}^2}}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες