Κάθετη στη διάμεσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6652
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κάθετη στη διάμεσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am

Κάθετη στη διάμεσο.png
Κάθετη στη διάμεσο.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Έστω H το σημείο τομής των υψών BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF τυχαίου τριγώνου ABC.

ΟΙ ευθείες EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC τέμνονται στο σημείο S.

Αν AM η διάμεσος του \vartriangle ABC, δείξετε ότι : SH \bot AM.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 11, 2019 8:45 am

Doloros έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png


Έστω H το σημείο τομής των υψών BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF τυχαίου τριγώνου ABC.

ΟΙ ευθείες EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC τέμνονται στο σημείο S.

Αν AM η διάμεσος του \vartriangle ABC, δείξετε ότι : SH \bot AM.
Κάθετη στη διάμεσο.D.png
Κάθετη στη διάμεσο.D.png (19.06 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές
Η MH τέμνει την AS στο T. Το BFEC είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου M. Άρα T είναι το σημείο \displaystyle {\rm{Miquel}} του πλήρους

τετραπλεύρου CEFBAS και MT\bot AS. Οπότε H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ASM και το ζητούμενο έπεται.


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Πέμ Ιουν 13, 2019 7:24 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png


Έστω H το σημείο τομής των υψών BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF τυχαίου τριγώνου ABC.

ΟΙ ευθείες EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC τέμνονται στο σημείο S.

Αν AM η διάμεσος του \vartriangle ABC, δείξετε ότι : SH \bot AM.

draw1.png
draw1.png (26.5 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές
..καλησπέρα.. μια λίγο ανάποδα.

Στα δεδομένα του προβλήματος , φέρνω την AI\perp SL μεM\equiv AI\cap SC. Θα δείξουμε ότι M μέσο της BC.

Στο \bigtriangleup EBC με διατέμνουσα την (A,K,M) έχουμε:\displaystyle\frac{AC}{AE}\cdot \frac{KE}{KB}\cdot \frac{MB}{MC}=1. Για να δείξουμε ότι MB=MC πρέπει να δείξουμε ότι: \displaystyle\frac{AC}{AE}=\frac{KB}{KE}\,\,\,(1).

Επίσης στο \bigtriangleup AHL(HE\perp AL,\,\,AI\perp HL\Rightarrow K ορθόκεντρο οπότε \displaystyle KL\perp AH\Rightarrow KL\left \| BC \Rightarrow \frac{KB}{KE}=\frac{LC}{EL}\,\,\,(2))

Από το πλήρες τετράπλευρο AFHE.SC έχουμε ότι (S,R/B,C) αρμονική σημειοσειρά και άρα η δέσμη H.(S,R/B,C) είναι αρμονική. Δηλαδή και η δέσμη H.(A,L/E,C)

είναι αρμονική όπότε \displaystyle \frac{AE}{AC}=\frac{LE}{LC}\,\,\,(3)

Κατά συνέπεια απο τις σχέσεις(2), (3) προκύπτει ή (1) που δείχνει ότι: MB=MC


miltosk
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Πέμ Ιουν 13, 2019 9:40 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png


Έστω H το σημείο τομής των υψών BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF τυχαίου τριγώνου ABC.

ΟΙ ευθείες EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC τέμνονται στο σημείο S.

Αν AM η διάμεσος του \vartriangle ABC, δείξετε ότι : SH \bot AM.
Χρησιμοποιώ το σχήμα της εκφώνησης. Το τετράπλευρο FEBC είναι εγγράψιμο. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του FEBC είναι το M.
Όμως: A\equiv FB\cap EC, S\equiv FE\cap BC και H\equiv FC\cap EΒ.
Άρα SH πολική του Α. Αφού όμως M είναι το κέντρο του κύκλου από τον ορισμό της πολικής AM\perp SH.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6652
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 14, 2019 4:10 am

miltosk έγραψε:
Πέμ Ιουν 13, 2019 9:40 pm
Doloros έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png


Έστω H το σημείο τομής των υψών BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF τυχαίου τριγώνου ABC.

ΟΙ ευθείες EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC τέμνονται στο σημείο S.

Αν AM η διάμεσος του \vartriangle ABC, δείξετε ότι : SH \bot AM.
Χρησιμοποιώ το σχήμα της εκφώνησης. Το τετράπλευρο FEBC είναι εγγράψιμο. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του FEBC είναι το M.
Όμως: A\equiv FB\cap EC, S\equiv FE\cap BC και H\equiv FC\cap EΒ.
Άρα SH πολική του Α. Αφού όμως M είναι το κέντρο του κύκλου από τον ορισμό της πολικής AM\perp SH.
Ωραίες όλες οι λύσεις. η πιο πάνω δε κομψή και λιτή :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10734
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 14, 2019 10:37 am

Τα ενδιαφέροντα θέματα επανέρχονται . Παλιότερες λύσεις εδώ και στην παραπομπή .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6652
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετη στη διάμεσο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 14, 2019 11:13 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιουν 14, 2019 10:37 am
Τα ενδιαφέροντα θέματα επανέρχονται . Παλιότερες λύσεις εδώ και στην παραπομπή .
Πολύ ωραία Θανάση ! Κρατάς καλό λογαριασμό ! σαν τον "Παρμενίδη" )

Την άσκηση ( είχα ξεχάσει πως την είχες ανεβάσει κι ας έχω δώσει τότε λύση) τώρα την πήρα από το Βιβλίο

Μ.Γ. ΜΑΡΑΓΚΑΚΗ "Γεωμετρικά θέματα" -Ηράκλειο 1978. είναι το Θ 25 στη σελίδα 316 και υπάρχουν 5 λύσεις του . Η ημέτερη του 2013 που είναι ίδια με του νεαρού πιο πάνω δεν είναι απ αυτές που έχει στο βιβλίο του

Η λύση του Γιώργου του Βισβίκη αλλά και του Θανάση ( thanasis.a) νομίζω είναι εντελώς νέες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες