Κοινό βαρύκεντρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6737
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κοινό βαρύκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 08, 2019 11:56 am

Κοινό βαρύκεντρο.png
Κοινό βαρύκεντρο.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Σε τρίγωνο ABC η γωνία B = 45^\circ και H το ορθόκεντρο του.

Οι AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CH τέμνουν το περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC στα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q.

Δείξετε ότι τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HPQ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8429
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κοινό βαρύκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 08, 2019 2:16 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Ιουν 08, 2019 11:56 am
Κοινό βαρύκεντρο.png


Σε τρίγωνο ABC η γωνία B = 45^\circ και H το ορθόκεντρο του.

Οι AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CH τέμνουν το περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC στα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q.

Δείξετε ότι τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HPQ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο
Κοινό βαρύκεντρο..png
Κοινό βαρύκεντρο..png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές
Έστω G το βαρύκεντρο του HPQ. Είναι \displaystyle AE = EH = EQ \Rightarrow Q\widehat AP = 90^\circ , άρα η PQ είναι διάμετρος του κύκλου.

HO είναι η ευθεία του Euler κι επειδή HG=2GO, το G θα είναι βαρύκεντρο και του ABC.


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 94
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Κοινό βαρύκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιουν 08, 2019 3:23 pm

Γειά σας!

Είναι \widehat{QAP}=90^{\circ}, οπότε QP διάμετρος του κύκλου με κέντρο το μέσο του QP. Απο το O φέρω OM\perp BC. Είναι OM\parallel AP και M μέσο BC. Φέρω την διάμεσο AM του τριγώνου ABC που τέμνει το OH στο K. Τα τρίγωνα OKM και AKH είναι όμοια με λόγο \dfrac{AK}{KM}=\dfrac{HK}{KO}=\dfrac{AH}{OM}=2 , άρα το K είναι βαρύκεντρο των τριγώνων ABC και QHP.
Συνημμένα
Καταγραφή.PNG
Καταγραφή.PNG (22.32 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2636
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κοινό βαρύκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιουν 08, 2019 5:40 pm

Χρειαζόμαστε τον τύπο του ορθοκέντρου από το
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 51&t=56027

Στο σχήμα του Νίκου .
Χρησιμοποιούμε μιγαδικούς.

0 το κέντρο του περιγεγραμμένου.

Το C το βάζουμε 1

το A θα είναι e^{i\frac{\pi }{2}}

ενω το B θα είναι e^{i(\frac{\pi }{2}+\phi) }.

Το Q θα είναι e^{i\theta }

ενώ το P το -e^{i\theta }

Λόγω της παραπομπής το H είναι το 1+e^{i\frac{\pi }{2} }+e^{i(\frac{\pi }{2}+\phi) }


Τελειώσαμε χρησιμοποιώντας ότι αν z_{1},z_{2},z_{3}

σημεία του μιγαδικού επιπέδου τότε το κέντρο βάρους τους είναι το σημείο

\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1679
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κοινό βαρύκεντρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιουν 09, 2019 12:15 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Ιουν 08, 2019 11:56 am
Κοινό βαρύκεντρο.png


Σε τρίγωνο ABC η γωνία B = 45^\circ και H το ορθόκεντρο του.

Οι AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CH τέμνουν το περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC στα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q.

Δείξετε ότι τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HPQ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο

Είναι, \displaystyle QD = DH και \displaystyle HM = MP καθώς και \displaystyle \angle QAP = {90^0}

Με \displaystyle N μέσον της \displaystyle BC ,θα είναι \displaystyle DN \bot BC και με \displaystyle DZ \bot AP \Rightarrow MN = DZ = \frac{{AQ}}{2}

Με \displaystyle AN \cap QM = G \Rightarrow \frac{{AG}}{{GN}} = \frac{{QG}}{{GM}} = \frac{{AQ}}{{NM}} = 2.Άρα το \displaystyle G είναι το κοινό κ.βάρους .
κοινό κ.βάρους.png
κοινό κ.βάρους.png (27.24 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες