Σελίδα 1 από 1

Παραλληλία με ορθόκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιουν 06, 2019 11:20 am
από george visvikis
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές
AD, BE, CF είναι τα ύψη τριγώνου ABC με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O.

Η κάθετη από το D στην OD τέμνει την EF στο P. Να δείξετε ότι HP||BC.

Re: Παραλληλία με ορθόκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιουν 06, 2019 6:01 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιουν 06, 2019 11:20 am
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
AD, BE, CF είναι τα ύψη τριγώνου ABC με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O.

Η κάθετη από το D στην OD τέμνει την EF στο P. Να δείξετε ότι HP||BC.
 \bullet Έστω Q,{Q}' τα σημεία τομής της PD με τις πλευρές AB,C{H}' του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου AB{H}'C,{H}'\equiv AD\cap \left( O \right),{H}'\ne A .

 \bullet Με OD\bot Q{Q}' από το Θεώρημα της Πεταλούδας προκύπτει ότι D το μέσο της Q{Q}' . Επίσης (γνωστή πρόταση : Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις πλευρές του είναι σημεία του περιγεγραμμένου του κύκλου) D το μέσο της H{H}' , άρα QH{Q}'{H}' παραλληλόγραμμο.
Παραλληλία και ορθόκεντρο.png
Παραλληλία και ορθόκεντρο.png (32.26 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
 \bullet Αν X\equiv DP\cap CF,L\equiv AH\cap FE τότε με B\equiv FQ\cap EH,D\equiv XQ\cap AH,C\equiv FX\cap EA συνευθειακά από το Θεώρημα Desargues προκύπτει ότι τα τρίγωνα \vartriangle XFQ,\vartriangle AEF είναι προοπτικά δηλαδή οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους είναι συγκλίνουσες και ας είναι S\equiv XA\cap FE\cap QH και έστω {C}'\equiv FE\cap BC . Με HQ\parallel {H}'{Q}' ή H{C}'\parallel {H}'C\overset{DH=D{H}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,:\left( 1 \right)

 \bullet Από το πλήρες τετράπλευρο XSQFHAπροκύπτει ότι η σειρά \left( S,P,F,L \right) είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) , άρα και η δέσμη H.SPFL , δηλαδή η δέσμη H.{C}'PCD είναι αρμονική και με D το μέσο της C{C}' (λόγω της σχέσης \left( 1 \right) ) θα είναι HP\parallel BC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης

Re: Παραλληλία με ορθόκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιουν 07, 2019 7:29 pm
από Doloros
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (69.27 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

Έστω N το μέσο του AH και T η τομή της OA με την EF. Από το Θ. Nagel , OA \bot EF.

Έστω ακόμη M το μέσο του BC και K\,\,,\,\,L τα κέντρα του κύκλου του Euler και του κύκλου T,O,D,P.

Το τετράπλευρο NDOT είναι εγγράψιμο ( ως άσκηση, έχει απλή λύση) . Η διάκεντρος KL είναι κάθετη στην κοινή χορδή DN άρα παράλληλη στην BC.

Το K είναι το μέσο του HO το L είναι το μέσο της διαμέτρου OP άρα HP//KL//BC

Λήμμα _για  Παραλλήλία και ορθόκεντρο.png
Λήμμα _για Παραλλήλία και ορθόκεντρο.png (32.45 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές