Παραλληλία με ορθόκεντρο

#1

: Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

είναι τα ύψη τριγώνου ABC

με ορθόκεντρο

και περίκεντρο

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

Να δείξετε ότι HP||BC.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 06, 2019 11:20 am
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
είναι τα ύψη τριγώνου με ορθόκεντρο και περίκεντρο

Η κάθετη από το στην τέμνει την στο Να δείξετε ότι

$\bullet$ Έστω τα σημεία τομής της με τις πλευρές του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $AB{H}'C,{H}'\equiv AD\cap \left( O \right),{H}'\ne A$ .

$\bullet$ Με $OD\bot Q{Q}'$ από το Θεώρημα της Πεταλούδας προκύπτει ότι το μέσο της . Επίσης (γνωστή πρόταση : Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις πλευρές του είναι σημεία του περιγεγραμμένου του κύκλου) το μέσο της , άρα παραλληλόγραμμο.

: Παραλληλία και ορθόκεντρο.png (32.26 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

$\bullet$ Αν $X\equiv DP\cap CF,L\equiv AH\cap FE$ τότε με $B\equiv FQ\cap EH,D\equiv XQ\cap AH,C\equiv FX\cap EA$ συνευθειακά από το Θεώρημα Desargues προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\vartriangle XFQ,\vartriangle AEF$ είναι προοπτικά δηλαδή οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους είναι συγκλίνουσες και ας είναι $S\equiv XA\cap FE\cap QH$ και έστω ${C}'\equiv FE\cap BC$ . Με $HQ\parallel {H}'{Q}'$ ή $H{C}'\parallel {H}'C\overset{DH=D{H}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,:\left( 1 \right)$

$\bullet$ Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά $\left( S,P,F,L \right)$ είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) , άρα και η δέσμη , δηλαδή η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της (λόγω της σχέσης $\left( 1 \right)$ ) θα είναι $HP\parallel BC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#3

: Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (69.27 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Έστω

το μέσο του

και

η τομή της

με την

. Από το Θ. Nagel

, $OA \bot EF$ .

Έστω ακόμη

το μέσο του

και $K\,\,,\,\,L$ τα κέντρα του κύκλου του Euler

και του κύκλου T,O,D,P

.

Το τετράπλευρο NDOT

είναι εγγράψιμο ( ως άσκηση, έχει απλή λύση) . Η διάκεντρος

είναι κάθετη στην κοινή χορδή

άρα παράλληλη στην

.

Το

είναι το μέσο του

το

είναι το μέσο της διαμέτρου

άρα

: Λήμμα _για Παραλλήλία και ορθόκεντρο.png (32.45 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Παραλληλία με ορθόκεντρο

Παραλληλία με ορθόκεντρο

Re: Παραλληλία με ορθόκεντρο

Re: Παραλληλία με ορθόκεντρο

Μέλη σε σύνδεση