Παραλληλία με ορθόκεντρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8405
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Παραλληλία με ορθόκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 06, 2019 11:20 am

Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές
AD, BE, CF είναι τα ύψη τριγώνου ABC με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O.

Η κάθετη από το D στην OD τέμνει την EF στο P. Να δείξετε ότι HP||BC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παραλληλία με ορθόκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Ιουν 06, 2019 6:01 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιουν 06, 2019 11:20 am
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
AD, BE, CF είναι τα ύψη τριγώνου ABC με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O.

Η κάθετη από το D στην OD τέμνει την EF στο P. Να δείξετε ότι HP||BC.
 \bullet Έστω Q,{Q}' τα σημεία τομής της PD με τις πλευρές AB,C{H}' του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου AB{H}'C,{H}'\equiv AD\cap \left( O \right),{H}'\ne A .

 \bullet Με OD\bot Q{Q}' από το Θεώρημα της Πεταλούδας προκύπτει ότι D το μέσο της Q{Q}' . Επίσης (γνωστή πρόταση : Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις πλευρές του είναι σημεία του περιγεγραμμένου του κύκλου) D το μέσο της H{H}' , άρα QH{Q}'{H}' παραλληλόγραμμο.
Παραλληλία και ορθόκεντρο.png
Παραλληλία και ορθόκεντρο.png (32.26 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές
 \bullet Αν X\equiv DP\cap CF,L\equiv AH\cap FE τότε με B\equiv FQ\cap EH,D\equiv XQ\cap AH,C\equiv FX\cap EA συνευθειακά από το Θεώρημα Desargues προκύπτει ότι τα τρίγωνα \vartriangle XFQ,\vartriangle AEF είναι προοπτικά δηλαδή οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους είναι συγκλίνουσες και ας είναι S\equiv XA\cap FE\cap QH και έστω {C}'\equiv FE\cap BC . Με HQ\parallel {H}'{Q}' ή H{C}'\parallel {H}'C\overset{DH=D{H}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,:\left( 1 \right)

 \bullet Από το πλήρες τετράπλευρο XSQFHAπροκύπτει ότι η σειρά \left( S,P,F,L \right) είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) , άρα και η δέσμη H.SPFL , δηλαδή η δέσμη H.{C}'PCD είναι αρμονική και με D το μέσο της C{C}' (λόγω της σχέσης \left( 1 \right) ) θα είναι HP\parallel BC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6718
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία με ορθόκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 07, 2019 7:29 pm

Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (69.27 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές

Έστω N το μέσο του AH και T η τομή της OA με την EF. Από το Θ. Nagel , OA \bot EF.

Έστω ακόμη M το μέσο του BC και K\,\,,\,\,L τα κέντρα του κύκλου του Euler και του κύκλου T,O,D,P.

Το τετράπλευρο NDOT είναι εγγράψιμο ( ως άσκηση, έχει απλή λύση) . Η διάκεντρος KL είναι κάθετη στην κοινή χορδή DN άρα παράλληλη στην BC.

Το K είναι το μέσο του HO το L είναι το μέσο της διαμέτρου OP άρα HP//KL//BC

Λήμμα _για  Παραλλήλία και ορθόκεντρο.png
Λήμμα _για Παραλλήλία και ορθόκεντρο.png (32.45 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες