Γωνία και λόγος

#1

: Γωνία και λόγος_NIF_1.png (12.87 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

Τριγώνου

με διάμεσο $AM\,\,$ και ύψος

, θεωρώ

την προβολή του

στην

. Δίδεται : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

α) Βρείτε τη γωνία $\theta = \widehat {MKC}$

β) Αν το ημικύκλιο ακτίνας

τέμνει τη

στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ , βρείτε το λόγο : $\dfrac{{AZ}}{{AE}}$

#2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 20, 2019 8:48 pm
Γωνία και λόγος_NIF_1.png

Τριγώνου με διάμεσο $AM\,\,$ και ύψος , θεωρώ την προβολή του στην . Δίδεται : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

α) Βρείτε τη γωνία $\theta = \widehat {MKC}$

β) Αν το ημικύκλιο ακτίνας τέμνει τη στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ , βρείτε το λόγο : $\dfrac{{AZ}}{{AE}}$

Σίγουρα θα υπάρχει ευκολότερος τρόπος.

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

και

: Γωνία και λόγος.F.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

α) Είναι $\displaystyle \sin A = \frac{5}{6},\cos A = \frac{{\sqrt {11} }}{6}$ και με νόμο συνημιτόνων βρίσκω $\displaystyle BC = 3k\sqrt {13 - 2\sqrt {11} }$

$\displaystyle \bullet$ Από τον τύπο της διαμέσου $\displaystyle A{M^2} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} \Leftrightarrow AM = \frac{{3k}}{2}\sqrt {13 + 2\sqrt {11} }$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle (ABM) = \frac{1}{2}(ABC) \Leftrightarrow \frac{1}{2}AM \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 6k \cdot 9k \cdot \frac{5}{6} \Leftrightarrow BK = \frac{{45k}}{{3\sqrt {13 + 2\sqrt {11} } }}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \sin \omega = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\cos \omega = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \tan \omega = 2 \Rightarrow LC = BK = 2KM = KL \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=45^\circ}$

$\displaystyle \frac{{AZ}}{{AE}} = \tan E \Leftrightarrow \frac{{AZ}}{{AE}} = \tan \left( {90^\circ - \frac{\omega }{2}} \right) = \cot \frac{\omega }{2}$

Αλλά, $\displaystyle \cot \omega = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{{\cot }^2}\frac{\omega }{2} - 1}}{{2\cot \frac{\omega }{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cot \frac{\omega }{2} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{AZ}}{{AE}} = \Phi}$

Altrian · #3

Καλησπέρα Γιώργο και Νίκο,

Για το α. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ότι BD=5

. Επομένως AB=6, AC=9

.

$(ABC)=2(ABM)=2(ABK)+2(BKM)=(APBK)+(BKL)=xy+\dfrac{xu}{2}$ .
Επομένως έχουμε: 2xy+xu=45

. $\Rightarrow x(2y+u)=45.....[1]$

$x^{2}+y^{2}=36$
$x^{2}+(y+u)^{2}=81\Rightarrow x^{2}+y^{2}+u^{2}+2yu=81\Rightarrow u^{2}+2yu=45$
$\Rightarrow u(2y+u)=45. ..[2]$ .

Από τις $[1],[2]\Rightarrow x=u\Rightarrow \angle MKC=45$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ. Νίκο ,Γιώργο και Αλέξανδρε χαιρετώ!
Μια παραλλαγή για το β΄ερώτημα

: Γωνία και λόγος.PNG (12.34 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

Όπως βρήκε ο Γιώργος $sin\omega =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ .Φέρω $EH \perp AM$ .

Έστω EH=2x

τότε $AM=ME=x\sqrt{5}$ με Π.Θ MH=x

άρα $AH=\left ( \sqrt{5}-1 \right )x$ .

Συνεπώς $\dfrac{AZ}{AE}=tan\theta =\dfrac{EH}{AH}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}=\Phi$ ... $\Phi$ ιλικά Γιώργος.

Γωνία και λόγος

Γωνία και λόγος

Re: Γωνία και λόγος

Re: Γωνία και λόγος

Re: Γωνία και λόγος

Μέλη σε σύνδεση