Ίσες γωνίες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ίσες γωνίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Μάιος 13, 2019 6:35 pm

Στο τρίγωνο ABC ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις BC,AC,AB στα D,E,Z και S η τομή των ευθειών ZE,BC. Από D φέρνουμε κάθετη (ε) προς την BC και το σημείο T είναι πάνω στην (ε) ώστε AT//BC. Να εξετάσετε αν ισχύει \widehat{AET}=\widehat{ESC}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ίσες γωνίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 13, 2019 7:30 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Δευ Μάιος 13, 2019 6:35 pm
Στο τρίγωνο ABC ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις BC,AC,AB στα D,E,Z και S η τομή των ευθειών ZE,BC. Από D φέρνουμε κάθετη (ε) προς την BC και το σημείο T είναι πάνω στην (ε) ώστε AT//BC. Να εξετάσετε αν ισχύει \widehat{AET}=\widehat{ESC}
Έστω, Q \equiv AI \cap BC.

Είναι, \angle AQB=\angle QAC+\angle ACQ =\dfrac{\angle A}{2}+\angle C, οπότε \angle AIT=\angle DIQ=90^\circ-\angle AQB=90^\circ-(\dfrac{\angle A}{2}+\angle C)=\dfrac{\angle B-\angle C}{2}.

Ακόμη, είναι AT \parallel BC \Rightarrow \angle ATI=\angle AEI=\angle AZI=90^\circ, οπότε τα A,T,E,I είναι ομοκυκλικά.

Άρα, \angle AET=\angle AIT=\dfrac{\angle B-\angle C}{2}.

Επίσης, \angle ESC=\angle ABC-\angle AZE=\angle B-(90^\circ-\dfrac{\angle A}{2})=\dfrac{\angle B-\angle C}{2}.

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
AAA.png
AAA.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ίσες γωνίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 13, 2019 7:40 pm

Πιο απλά.

Η AI είναι προφανώς μεσοκάθετος της ZE, άρα με X \equiv AI \cap ZE \Rightarrow \angle ZXI=90^\circ=\angle IDS , οπότε το SXID είναι εγγράψιμο.

Επομένως, έχουμε ότι :

\angle AET=\angle AIT=\angle XSD=\angle ESC.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες γωνίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 14, 2019 4:51 pm

Ίσες γωνίες.Χ..png
Ίσες γωνίες.Χ..png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
\displaystyle A\widehat ZI = A\widehat TI = T\widehat EI = 90^\circ, άρα τα σημεία A, Z, I, E, T είναι ομοκυκλικά, οπότε οι μπλε γωνίες είναι ίσες,

άρα και \displaystyle A\widehat TE = S\widehat EC. Αλλά και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες λόγω της παραλληλίας AT||BC, που σημαίνει ότι

τα τρίγωνα AET, ESC είναι ισογώνια και \boxed{A\widehat ET= E\widehat SC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Demetres και 2 επισκέπτες