Ίσα γινόμενα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ίσα γινόμενα
Αν η διχοτομεί τη γωνία να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ίσα γινόμενα
Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο . Φέρνω το ύψος του κι έστω ένα σημείο στη διχοτόμο της . Γράφω το κύκλο που ταυτόχρονα:
α) Διέρχεται από το
β) Τέμνει την προέκταση της στο και
γ) Τέμνει την προέκταση της στο .
Αφού το συμμετρικό, , του ως προς την ανήκει στον κύκλο το είναι το ορθόκεντρο του .
Επειδή το τετράπλευρο είναι εγγραψιμο και επομένως :
και έτσι όλες οι κίτρινες γωνίες είναι από .
άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς έτσι .
Μετά απ’ αυτά από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων . προκύπτει το ζητούμενο.
α) Διέρχεται από το
β) Τέμνει την προέκταση της στο και
γ) Τέμνει την προέκταση της στο .
Αφού το συμμετρικό, , του ως προς την ανήκει στον κύκλο το είναι το ορθόκεντρο του .
Επειδή το τετράπλευρο είναι εγγραψιμο και επομένως :
και έτσι όλες οι κίτρινες γωνίες είναι από .
άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς έτσι .
Μετά απ’ αυτά από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων . προκύπτει το ζητούμενο.
-
- Δημοσιεύσεις: 491
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm
Re: Ίσα γινόμενα
...καλησπέρα...george visvikis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:31 pmΊσα γινόμενα..png
Σε οξυγώνιο τρίγωνο είναι το ύψος, το ορθόκεντρο και το περίκεντρο.
Αν η διχοτομεί τη γωνία να δείξετε ότι
Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του . Έστω . Έχουμε λοιπόν ότι με (βαίνουν σε ιδιο τόξο)
και επίσης ως συμπληρώματα ισων γωνιών. ΄
Η ευθεία είναι η ευθεία Euler στο και επίσης ο πράσινος κύκλος ο αντίστοιχος κύκλος Euler. Κατά συνέπεια έχουμε τα εξής δεδομένα:
α. το κέντρο του κύκλου Euler, οπου
β. με
γ.
Κατά συνέπεια οπότε .
Η τελευταία ισότητα δείχνει ότι αφού: .
Όμως επειδή οπότε
έχουμε τώρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες