Ίσα γινόμενα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8491
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα γινόμενα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 08, 2019 5:31 pm

Ίσα γινόμενα..png
Ίσα γινόμενα..png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC είναι AD το ύψος, H το ορθόκεντρο και O το περίκεντρο.

Αν η HO διχοτομεί τη γωνία D\widehat HC, να δείξετε ότι \displaystyle BD \cdot AC = AD \cdot OC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα γινόμενα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 09, 2019 1:13 am

Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο HPC . Φέρνω το ύψος του CD κι έστω ένα σημείο O στη διχοτόμο της \widehat {PHC}. Γράφω το κύκλο (O,OC) που ταυτόχρονα:

α) Διέρχεται από το P

β) Τέμνει την προέκταση της CD στο B και

γ) Τέμνει την προέκταση της DH στο A.
Ισα γινόμενα Βισβίκης.png
Ισα γινόμενα Βισβίκης.png (52.69 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές
Αφού το συμμετρικό, P, του H ως προς την BC ανήκει στον κύκλο το H είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.

Επειδή \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} το τετράπλευρο AHOC είναι εγγραψιμο και επομένως :

\widehat {COB} = 2\widehat {CPA} = 120^\circ και έτσι όλες οι κίτρινες γωνίες είναι από 30^\circ .

\widehat {BOP} = 2\widehat {BAP}=60° άρα το τρίγωνο OBP είναι ισόπλευρο πλευράς R έτσι \boxed{m = HB = R = OC}.

Μετά απ’ αυτά από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων . ADC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BDH προκύπτει το ζητούμενο.


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Ίσα γινόμενα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Πέμ Μάιος 09, 2019 10:02 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:31 pm
Ίσα γινόμενα..png
Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC είναι AD το ύψος, H το ορθόκεντρο και O το περίκεντρο.

Αν η HO διχοτομεί τη γωνία D\widehat HC, να δείξετε ότι \displaystyle BD \cdot AC = AD \cdot OC.
draw1.png
draw1.png (49.28 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
...καλησπέρα...

Έστω O το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του \widehat{ABC}. Έστω N\equiv OA\cap (O). Έχουμε λοιπόν ότι \widehat{ACN}=90^{\circ} με \widehat{ANC}=\widehat{ABD} (βαίνουν σε ιδιο τόξο)

και επίσης \widehat{BAD}=\widehat{NAC} ως συμπληρώματα ισων γωνιών. ΄

Η ευθεία HO είναι η ευθεία Euler στο \widehat{ABC} και επίσης ο πράσινος κύκλος ο αντίστοιχος κύκλος Euler. Κατά συνέπεια έχουμε τα εξής δεδομένα:

α. F το κέντρο του κύκλου Euler, οπου FH=FO

β. S\equiv HC\cap (F) με HS=SC

γ. \displaystyle FD=FS=\frac{OC}{2}

Κατά συνέπεια \bigtriangleup HFD=\bigtriangleup HFS\,\,\,((HF=HF),\,\,\,DF=FS,\,\,\,\widehat{DHF}=\widehat{FHS}) οπότε \displaystyle HD=HS=\frac{HC}{2}\,\,\,(1).

Η τελευταία ισότητα δείχνει ότι αφού: \bigtriangleup HDC:\widehat{D}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{HCD}=30^{\circ}\,\,\,\,(2).

Όμως επειδή HC\perp AB,\,\,\,CD\perp AD\Rightarrow \widehat{HCD}=\widehat{DAB}=\widehat{NAC}=30^{\circ} 
οπότε \widehat{ANC}=60^{\circ}\Rightarrow OC=NC\,\,\,(3)

έχουμε τώρα \displaystyle\bigtriangleup ANC\approx \bigtriangleup ABD\Rightarrow \frac{NC}{BD}=\frac{AC}{AD}\mathop\Rightarrow\limits^{(3)}\,\,\,\boxed{BD\cdot AC=AD\cdot OC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες