Λόγος λόγω εγκέντρου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11374
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος λόγω εγκέντρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 30, 2019 8:50 pm

Λόγος  λόγω  εγκέντρου.png
Λόγος λόγω εγκέντρου.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Το σημείο I είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Η ευθεία BI τέμνει το

ημικύκλιο διαμέτρου AI στο S . Υπολογίστε τον λόγο \dfrac{BI}{IS} . Εφαρμογή : b=6 , c=8 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος λόγω εγκέντρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 01, 2019 3:04 am

‘Έστω D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T οι τομές των AI\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS με την υποτείνουσα BC = a = \sqrt {{b^2} + {c^2}} .

\left\{ \begin{gathered} 
  DB = \frac{{ac}}{{b + c}} \hfill \\ 
  DC = \frac{{ab}}{{b + c}} \hfill \\ 
  TC = a - c \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{DB}}{{TD}} = \frac{{ac}}{{ab - (a - c)(b + c)}}}\,\,(1)

Λόγος λόγω εγκέντρου.png
Λόγος λόγω εγκέντρου.png (16.8 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Θ. Μενελάου στο \vartriangle TSB με διατέμνουσα \overline {AID} κι έχω λόγω και της (1):

\dfrac{{TA}}{{AS}} \cdot \dfrac{{SI}}{{IB}} \cdot \dfrac{{BD}}{{DT}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{IB}}{{IS}} = \frac{{2ac}}{{ab - (a - c)(b + c)}}}


\boxed{\frac{{IB}}{{IS}} = \frac{{{b^2} + {c^2} + (b + c)\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{bc}}} στην εφαρμογή δίνει 5.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8969
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος λόγω εγκέντρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 01, 2019 9:25 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 30, 2019 8:50 pm
Λόγος λόγω εγκέντρου.pngΤο σημείο I είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Η ευθεία BI τέμνει το

ημικύκλιο διαμέτρου AI στο S . Υπολογίστε τον λόγο \dfrac{BI}{IS} . Εφαρμογή : b=6 , c=8 .
Λόγος λόγω εγκέντρου.png
Λόγος λόγω εγκέντρου.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \frac{r}{{BI}} \Leftrightarrow BI = \dfrac{r}{{\sqrt {\dfrac{{1 - \cos B}}{2}} }} \Leftrightarrow \boxed{BI = \frac{{r\sqrt {2a} }}{{\sqrt {a - c} }}} (1)

\displaystyle \theta  = 90^\circ  - \frac{C}{2} \Leftrightarrow \cos \theta  = \sin \frac{C}{2} \Leftrightarrow \frac{{IS}}{{AI}} = \sqrt {\frac{{1 - \cos C}}{2}}  \Leftrightarrow \boxed{IS = \frac{{r\sqrt 2 \sqrt {a - b} }}{{\sqrt {2a} }}} (2)

Από (1) και (2) παίρνω: \boxed{\frac{{BI}}{{IS}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt {(a - b)(a - c)} }}} και για την εφαρμογή \boxed{\frac{BI}{IS}=5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: stamas1 και 1 επισκέπτης