Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

KARKAR · #1

: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

$\bigstar$ Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι γνωστός ο λόγος $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$ . Φέρουμε τη διάμεσο

και την διχοτόμο

, οι οποίες τέμνονται στο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(BSM)}{(ASD)}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 30, 2019 2:04 pm
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι γνωστός ο λόγος $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$ . Φέρουμε τη διάμεσο

και την διχοτόμο , οι οποίες τέμνονται στο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(BSM)}{(ASD)}$ .

…Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle BDC$ με διατέμνουσα την ASM

θα έχουμε: $\dfrac{SB}{SD}\cdot \dfrac{AD}{AC}\cdot \dfrac{MC}{BM}=1\Rightarrow \dfrac{SB}{SD}\cdot \dfrac{1}{1+\lambda }=1\Rightarrow \dfrac{SB}{SD}=1+\lambda$ .

…Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle AMC$ με διατέμνουσα την BSD

θα έχουμε: $\dfrac{SA}{SM}\cdot \dfrac{BM}{BC}\cdot \dfrac{CD}{DA}=1\Rightarrow \dfrac{SA}{SM}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \lambda =1\Rightarrow \dfrac{SM}{SA}=\dfrac{\lambda }{2}$
Έτσι $\dfrac{\left( BSM \right)}{\left( ASD \right)}=\dfrac{SB\cdot SM}{SA\cdot SD}=\dfrac{\lambda \cdot \left( \lambda +1 \right)}{2}$

#3

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

. Θέτω: $(SBM) = {N_1}\,\,\,,\,\,\,(SAD) = {N_2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(SAB) = T$ .

Επειδή η

διχοτόμος του $\vartriangle ABM$ θα είναι : $\dfrac{{{N_1}}}{T} = \dfrac{{BM \cdot BS}}{{BA \cdot BS}} = \dfrac{{BC}}{{2BA}} = \dfrac{\lambda }{2}\,\,(1)$

: Λόγος εμβαδών απο λόγο πλευρών.png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Επίσης , $\dfrac{T}{{{N_2}}} = \dfrac{{BS}}{{SD}} = \dfrac{{BM}}{{MK}} = \dfrac{{MC}}{{MK}} = \dfrac{{CA}}{{DA}} = \dfrac{{CD + DA}}{{DA}} = \dfrac{{CD}}{{DA}} + 1 = \lambda + 1\,\,(2)$

Πολλαπλασιάζω τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ κι έχω: $\dfrac{{{N_1}}}{T} \cdot \dfrac{T}{{{N_2}}} = \dfrac{{\lambda (\lambda + 1)}}{2} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{{N_1}}}{{{N_2}}} \cdot = \dfrac{{\lambda (\lambda + 1)}}{2}}$

Το " αστεράκι" για τον Θανάση τι σημαίνει ;

KARKAR · #4

Κάποιοι λύτες είναι λογικό να αγνοούν τι υποδηλώνει το αστεράκι . Λοιπόν ( ας) σημαίνει :

"Για ένα 24ωρο , γίνονται δεκτές λύσεις μόνο από μαθητές "

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 30, 2019 2:04 pm
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι γνωστός ο λόγος $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$ . Φέρουμε τη διάμεσο

και την διχοτόμο , οι οποίες τέμνονται στο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(BSM)}{(ASD)}$ .

Χρόνια πολλά.....

Είναι $\displaystyle \frac{{AS}}{{SM}} = \frac{c}{{\frac{a}{2}}} = \frac{2}{\lambda }$ και $\displaystyle \frac{{DS}}{{SB}} = \frac{{\left( {ADM} \right)}}{{\left( {ABM} \right)}} = \frac{{\left( {ADM} \right)}}{{\left( {AMC} \right)}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AD + DC}} = \frac{1}{{1 + \frac{{DC}}{{AD}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{a}{c}}} = \frac{1}{{\lambda + 1}}$

$\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{{AS}}{{SM}} \cdot \frac{{DS}}{{SB}} = \frac{2}{{\lambda \left( {\lambda + 1} \right)}} \Rightarrow \boxed{\frac{X}{Y} = \frac{{\lambda \left( {\lambda + 1} \right)}}{2}}$

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 30, 2019 2:04 pm
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι γνωστός ο λόγος $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$ . Φέρουμε τη διάμεσο

και την διχοτόμο , οι οποίες τέμνονται στο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(BSM)}{(ASD)}$ .

Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $AMB,\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{2}{\lambda },(1),$

$(BSM)=(SME),\dfrac{(BSM)}{(ASD)}=\dfrac{(SME)}{(ASD)}=\dfrac{SM.CT}{KD.AS},(2)$

Από τα όμοια τρίγωνα $ATC,ADK,\dfrac{CT}{KD}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{a+c}{c}=\lambda +1,(3), (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{(BSM)}{(ASD)}=\dfrac{\lambda (\lambda +1)}{2}$

Γιάννης

Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Μέλη σε σύνδεση